不等式恒成立，雙變量巧突破

摘"要：涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立的綜合問題，是新高考數學試卷中的一類考查數學“四基”與“四能”的重要應用，場景新穎，知識交匯，內涵豐富，解法靈活.結合一道高考模擬題，就雙變量的不等式恒成立問題中的參數的最值求解及其應用來總結解題技巧，歸納方法策略，指導師生的數學教學與學習.

關鍵詞：函數；恒成立；最值；導數；變式

涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立問題，在近年的高考數學試題中經常出現.此類綜合問題往往涉及函數與導數、不等式等模塊知識，而對于“雙變量”或“雙參”的任意變動，無規律可循，是師生在數學教學與學習過程中感到困惑的難點之一.此類問題能力要求高，綜合性強，難度較大，往往是一些壓軸題的重要場景.

1"問題呈現

（2024年福建省廈門市高考數學第二次質檢試卷·14）已知函數f（x）=xa－logbx（agt;0，bgt;0，且b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab的最小值為"""".

此題以含有雙變量的函數來創設場景，借助冪函數與對數函數的差式來設置函數，并借助不等式恒成立來構建，進而確定雙變量的乘積的最小值.題目看似簡單，而由于雙變量之間的變化直接導致函數的復雜性提升，造成無法展開思路.

而實際解決問題時，可以借助含參不等式的等價轉化與變形來展開，逐步深入分析與探究，嘗試尋覓解決問題的方法；也可以借助對數函數的底數的取值情況進行分類討論，主次分開，合理分析，尋找突破.當然，沒有更好的辦法時，可以借助特殊思維.以特殊值的方法來探尋答案，有時也是一種效果不錯的技巧方法.

2"問題破解

方法1：等價轉化法.

依題，由f（x）≥1，得xa－logbx≥1.

令t=xa，ba=m（tgt;0，mgt;0，且m≠1），則原問題等價于t－1≥logmt恒成立.

由于直線y=t－1與曲線y=logmt均過點（1，0），故只需直線y=t－1與曲線y=logmt在（1，0）處相切.

對于曲線y=logmt，有y′=1tln m，則有1tln m=1，即1ln m=t.

又t－1≥logmt=tlnt恒成立，即lnt≤1－1t.

構建函數g（t）=lnt－1－1t，tgt;0.又g′（t）=1t－1t2=t-1t2，令g′（t）=0，解得t=1，易知函數g（t）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以g（t）≥g（t）min=g（1）=0，即lnt≥1－1t.

故lnt=1－1t，此時t=1，即ln m=1，解得m=e，則ba=e，所以aln b=1，此時bgt;1，所以ab=bln b.

構建函數h（b）=bln b，bgt;1，而h′（b）=ln b-1（lnb）2，令h′（b）=0，解得b=e，易知函數h（b）在（1，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，所以h（b）≥h（b）min=h（e）=e.

綜上，ab的最小值為e.

點評：根據含參不等式的恒等變形與轉化，合理引入參數進行等價轉化，利用兩個不等式lnt≤1－1t與lnt≥1－1t同時成立的條件，構建方程lnt=1－1t，為進一步確定兩變量之間的關系ab=bln b奠定基礎，進而通過構建函數，利用求導與函數的單調性判斷來達到目的.在實際解題過程中，沒有一定的目的與方向時，往往通過等價轉化法給問題帶來曙光，多變形、多嘗試，一定會有收獲.

方法2：分類討論法.

依題知，函數f（x）的定義域為（0，+∞）.

當0lt;blt;1時，函數f（x）=xa－logbx在（0，+∞）上單調遞增，此時f（b）=ba－1lt;b0－1=0，不合題意.

當bgt;1時，f′（x）=axa－1－1xln b=axxa－1alnb，令f′（x）=0，解得x0=1aln b1a，易知函數f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，所以當x=x0時，f（x）有極小值，也是最小值.

又f（1）≥1且f（1）=1.

所以f（x）min=f（x0）=1，

x0=1.

則x0=1aln b1a=1，可得aln b=1，所以ab=bln b.

構建函數h（b）=bln b，bgt;1，而h′（b）=ln b-1（lnb）2，令h′（b）=0，解得b=e，易知函數h（b）在（1，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，所以h（b）≥h（b）min=h（e）=e.

綜上，ab的最小值為e.

點評：根據對數函數的底數b的取值情況加以分類討論，討論在其不同取值情況下函數的單調性，以及與題設不等式恒成立的關系，為進一步構建兩變量之間的關系ab=blnb提供條件，從而實現雙變量代數式的最值求解.對于解決含參的函數、方程或不等式等問題，分類討論法是最為常用的一種技巧方法，關鍵就是抓住對應的變量進行合理的分類討論與應用.

方法3：特殊思維法.

依題知，函數f（x）的定義域為（0，+∞）.

當0lt;blt;1時，函數f（x）=xa－logbx在（0，+∞）上單調遞增，此時f（b）=ba－1lt;b0－1=0，不合題意，則只能是bgt;1.

取特殊值b=e，則有f（x）=xa－logbx=xa－ln x，結合f（x）≥1恒成立，可得xa－ln x≥1恒成立，即xa≥ln x+1恒成立.

結合切線不等式有ln x+1≤x，當且僅當x=1時，等號成立.

當0lt;alt;1時，ab無最小值，則只能是a≥1，而當a=1時，顯然滿足f（x）≥1恒成立.

利用特殊思維的端點效應有ab=ae≥e，所以ab的最小值為e，故填答案：e.

點評：用特殊思維解決問題時，有時只能確定相應的結論，而不能進行嚴謹的推理與證明.以上特殊思維應用，通過特殊值b=e，a=1，得到不等式f（x）≥1恒成立，進而得以確定ab=e，但其是否是最小值，又為什么是最小值，則無法加以嚴謹說明.這也是此類方法不嚴謹的地方，但其對小題（選擇題或填空題）的解決，有時有奇效.

3"變式拓展

3.1"題型變式

變式1"（多選題）已知函數f（x）=xa－logbx（agt;0，bgt;0，且b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab的值可以是（""）.

A. 1"""B. 2"""C. e"""D. 4

該變式問題的具體解析過程，同原問題的解法與應用，這里不多加以展開與敘述，而作為多選題的變式與創新考查方式，考生可根據自身情況和通過驗證法思維來驗證答案，以達到巧妙得分的目的.

3.2"深入變式

變式2"已知函數f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直線y=x與曲線y=f（x）相切，則ab的最大值為"""".

解析：設直線y=x與曲線y=f（x）相切于點P（x0，2ln（ax0+b））.

由于f′（x）=2aax+b，結合導數的幾何意義可知，f′（x0）=2aax0+b=1，即ax0+b=2a（agt;0）.又點P在切線y=x上，可得2ln（ax0+b）=x0，所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，b=2a－ax0=2a－2aln 2a，則有ab=2a2－2a2ln 2a（agt;0）.

結合切線不等式ln x≤xe，當且僅當x=e時，等號成立，所以ab=2a2－2a2ln 2a=2a2（1－ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，當且僅當e2a2=e，即a=e2時，等號成立.故ab的最大值為e4.

4"教學啟示

破解此類涉及“雙變量”或“雙參”的不等式恒成立問題，關鍵是通過不等式恒成立的等價變形與轉化，或消元（分主元與次元）處理，或整體（雙變量的代數式作為一個整體）代換，或巧妙構建（構建對應的函數等形式）等，這些都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路.

涉及“雙變量”或“雙參”的綜合問題，成為近年高考數學試卷中的熱門與難點問題之一.這類問題形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數學基本知識點比較多，對數學思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區分度.同時，借助此類綜合問題的應用，可以很好地考查學生思維的發散性、創新性與開拓性，讓學生養成良好的數學解題習慣，培養學生的數學核心素養.