明確概率模型突出問題本質

摘"要：高考數學中概率與統計部分著重考查學生的實際應用能力和數學建模能力，因此明確概率模型，抓住問題本質至關重要. 本文從概率中常見模型入手，培養學生分析和解決概率問題的能力.

關鍵詞：二項分布；超幾何分布；全概率

概率與統計問題在近幾年的高考中背景取自現實，題型新穎，綜合性強，主要考查學生的閱讀理解能力和數據分析能力，考查學生理性思維的廣度、深度以及創新潛能.［1］因此明確概率模型，抓住問題本質至關重要.本節課結合三道小題的教學，著重考察學生二項分布和超幾何分布的區別以及條件概率和全概率公式的應用，為例題的探究打好基礎，層層遞進，有助于培養學生數學核心素養，提升數學能力.

1"學情分析

教學對象是四星級高中的高三學生，學生在解決二項分布和超幾何分布問題時概念不清，經常容易混淆，條件概率以及全概率公式的應用不夠靈活.

2"教學目標

（1）熟練掌握概率中的幾種常見模型及其應用.

（2）區分二項分布和超幾何分布，熟練掌握條件概率、全概率公式.

（3）借助實際問題的研究，培養學生分析問題、邏輯推理、數學運算等核心素養.

3"過程實錄

3.1"學生自測反饋

用導學案輔助教學，設計3道小題引導學生自主完成.

（1）甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）.設甲隊每場取勝的概率為0.4，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以3∶1獲勝的概率是"""".

分析：本題較基礎，學生回答過程如下.甲隊第四局勝，前三局甲隊贏兩局，結合獨立重復試驗的概率公式，可求得所求事件的概率為C23×0.43×0.6=0.1152.

【設計意圖】考查學生是否了解常見的比賽賽制，比如三局兩勝、五局三勝等.此類問題把握好最后一局的特點，前面幾局滿足“獨立重復”“等可能”，是二項分布，就能比較容易地解決.

（2）2023年2月22日，中國花樣滑冰協會發布公告，宣布2023年中國杯世界花樣滑冰大獎賽落地重慶.重慶市體育局計劃從某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中選派6人參加志愿者培訓，事件A表示選派的6人中至少有3名男志愿者，則P（A）="""".

事件B表示選派的6人中恰好有3名女志愿者，則P（B｜A）="""".

分析：由題意，得P（A）=C34C34+C44C24C68=1114，P（AB）=C34C34C68=814，再利用條件概率公式，得P（B｜A）=P（AB）P（A）=811.也可以縮小樣本空間，用古典概型來解決，P（B｜A）=n（AB）n（A）=C34C34C34C34+C44C24=1622=811.

【設計意圖】解超幾何分布問題，關鍵要抓住“總體中一類特殊的個體”，本題在求解概率過程中實際包含了一個超幾何分布問題.另外熟練掌握條件概率兩種常見的處理方法：①運用公式直接求解；②縮小樣本空間，轉化為古典概型來解決.

（3）三門問題亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，出自美國的電視游戲節目Lets Make a Deal.參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇門的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊.當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門.那么換另一扇門會增加參賽者贏得汽車的概率嗎？請你用所學概率知識探討，說明理由.

師：通過同學們激烈地討論，請大家說說自己的想法.

生1：我認為不換門贏得汽車的概率為13，換門贏得汽車的概率為12.

生2：我認為換門贏得汽車的概率為23.

師：這兩種想法也是絕大部分同學的想法，剛才大家根據自己的分析得出概率，那么究竟哪一種是對的呢？如何用我們所學知識來分析呢？

不妨設選手選中1號門，設“汽車在1號門”為事件A，“選中汽車”為事件B.

若不換門，則選中汽車的概率P（B）=13；

若換門，則P（B）=P（B｜A）P（A）+P（B｜）P（）=0×13+1×23=23.因此換門贏得汽車的概率更大.

【設計意圖】從有趣的三門問題入手，聯系實際，考查了學生對條件概率和全概率公式的理解和運用.通過實際問題引導，激發學生的求知欲，讓學生在解決問題中體會成功的快樂，不斷提升學生的數學素養.

3.2"典型例題講解

例1"某學校為了保障學生的身體健康，決定組織學生參加體育鍛煉，同時為了節省時間，作出如下要求：每班50人，每次按學號隨機抽取30人，每周抽兩次.

（1）一周內，高三（1）班的甲同學被抽取到的次數為X，求X的分布列和數學期望.

（2）設一周內，兩次都被抽取到的人數為變量Y，則Y的可能取值是哪些？其中Y取到哪一個值的可能性最大？請說明理由.

生3：每次抽取，甲同學被抽到的概率均為35，則X的所有可能取值為0，1，2，X～B2，35.

可得P（X=0）=C02252=425，P（X=1）=C123525=1225，P（X=2）=C22352=925.

所以隨機變量X的分布列如下.

所以期望E（X）=0×425+1×1225+2×925=65.

生3：第（2）問中，隨機變量Y的所有可能取值為10，11，12，…，30，每次被抽到的概率是35，所以兩次都被抽到的人數為k的概率是P（Y=k）=Ck30·35k1-3530-k.

師：剛剛生3說的概率表示，大家贊成嗎？如果不贊成，有其他的想法嗎？

生4：我不贊成，因為每次被取到的概率不是等可能的，我覺得應該用Y=k時所有可能的情況C3050Ck30C30-k20除以C3050C3050來求解，即P（Y=k）=C3050Ck30C30-k20C3050C3050.

師：到底哪位同學說的對呢？.剛才同學們討論得非常熱烈，生3認為是二項分布，那我們來看看是否是n次獨立重復試驗且每次試驗發生的概率是等可能的，很明顯不具備.生4其實用的是古典概型來解決，還是比較簡單易懂的.同學們可以發現，表達式中上下都有C3050，我們化簡下就能得到P（Y=k）=Ck30C30-k20C3050，這個公式怎么來理解呢？其實我們也可以這樣分析，第一次抽取相當于分層，即將50人分成已抽取一次的30人和未抽取的20人兩個部分，若兩次都抽取的人數為k，相當于在30人中取k個，所以P（Y=k）=Ck30C30-k20C3050，實際上是一個超幾何分布.不妨設Y=k時概率最大，則

Ck30C30-k20≥Ck-130C31-k20，

Ck+130C29-k20≤Ck30C30-k20.由上式，得k≤96152，同理k+1≥96152，則k≥90952.又k∈N，所以k=18時，概率最大.

【設計意圖】本題從學生易錯點入手，通過兩小問的對比，讓學生區分兩個分布.從學生的作答情況來看，還是有不少同學把第（2）問的分布混淆了.解決二項分布問題的關鍵主要看兩個方面，一是判斷是否為n次獨立重復試驗，二是判斷隨機變量是否為n次獨立重復試驗中某事件發生的次數.第二問中超幾何分布并不常見，從學生的公式入手，通過變形，進而引導學生利用超幾何分布來解決，水到渠成，比較容易理解.該分布描述的是不放回抽樣，需要和二項分布加以區別.高考數學側重考查學生的數學能力，因此在平時的課堂上，同學們需要認真分析所給條件，找準目標，精確定位，才能舉一反三、觸類旁通.

例2"人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.

基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型：有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球；乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能地摸出一個球，稱為一次試驗.多次試驗，若摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為12（先驗概率）.

（1）求首次試驗結束的概率.

（2）在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整：

①求選到的袋子為甲袋的概率.

②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續進行第二次試驗時有如下兩種方案.

方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.

請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.

生5：我只做出了前兩問，設“選到甲袋”為事件A，“選到乙袋”為事件，

“摸到紅球”為事件B，“摸到白球”為事件.

第（1）問中，P（B）=P（B｜A）·P（A）+P（B｜）P（）=910×12+210×12=1120.

第（2）問的①小問中，P（A｜）=P（A）P（）=P（｜A）P（A）P（）=110×12920=19，P（｜）=1-19=89.

師：大家聽了生5的發言，覺得哪些地方說得特別好呢？我們發現她的過程非常規范，先設事件，再寫公式，最后代入求解.這也是部分同學容易忽視的地方，希望大家注意書寫的規范.那第（2）問的②小問考查什么知識點呢？我們一起分析看看.

由第二問可知，若選擇方案一，則原來袋子是甲袋的概率為19，是乙袋的概率為89，

設方案一中取到紅球的概率P1.

P1=P（B｜A）P（A）+P（B｜）·P（）=910×19+210×89=518.

若選擇方案二，則原來袋子是甲袋的概率為89，是乙袋的概率為19，

設方案二中取到紅球的概率P2.

P2=P（B｜A）P（A）+P（B｜）P（）=910×89+210×19=3745.

因為3745＞518，所以選擇方案二第二次試驗結束的概率更大.

【設計意圖】選題來源于實際，貼近生活，易于理解.其實第3問本質上還是全概率公式的應用，同學們只要將條件分析清楚，應該不難得到.完整的板書展示，引導學生重視書寫規范，取得了良好的效果.

4"教學反思

新高考評價體系注重考查概率統計的本質，著重考查概率統計涉及的數學思想，突出基礎性，強調對基本概念、基本公式的深刻理解，表達形式豐富多樣、靈活創新，呈現出新高考開放性、創新性的趨勢.本節課從3道小題入手，重視知識的形成過程，揭示知識之間的內在邏輯關系，有助于學生構建完整的知識體系.例題教學中注重挖掘各種概率模型的隱含特點，并研究其在命題中的切入點，引導

學生學會分析，在探索中找到解決問題的思路.通過對知識系統、題目關系進行有效整合，形成遞進關系的“題組”，讓“型”更具有整體性，讓思路更具有共通性、普遍性，有助于提高教學效率.

參考文獻

［1］徐惠.新高考評價體系下“概率統計”命題新趨勢［J］.數學通訊，2021（3）：42-46.

［2］石志群.高三數學復習的若干誤區［J］.中學數學月刊，2019（2）：1-4.