基于Mathematica的彈簧擺模型研究

摘 要：在高中物理教學中，彈簧擺模型涉及的運動問題較為復雜，利用Mathematica軟件對該物理模型的動力學微分方程進行數值求解和仿真模擬，通過模擬復雜的物理現象及仿真交互實驗來幫助學生更好地理解物理知識。

關鍵詞：彈簧擺；Mathematica；仿真模擬

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）12-0079-3

信息技術與物理教學的結合已逐漸成為推進物理課程改革的有效途徑之一。Mathematica是一款功能強大的通用計算軟件，其內置豐富的函數和算法，可進行代數、微分方程、線性代數等方面的計算，解決各種復雜的數學和物理問題。它還具有豐富的數據分析和可視化功能，支持交互式的實驗演示和模擬。因此，可結合彈簧擺，探索Mathematica在物理教學中的應用。

1 典型例題及答案

例題 一輕質彈簧，其勁度系數為k，一端固定在O點，另一端掛一質量為m的小球（可視為質點），不計空氣阻力，試求：

（1）如圖1所示，若將小球從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持自然長度l0的A點無初速度釋放，求小球經過豎直位置P點時的速度，此時彈簧長度為l1；

（2）如圖2所示，若靜止時彈簧長度為l2，現突然給小球一個水平速度v0=，則小球在向上運動的過程中到達的最高點是否在O點上方，并說明理由。

圖1 情境1示意圖 圖2 情境2示意圖

答案 （1）設小球到豎直位置P點時的速度大小為v，由功能原理得mgl1=k（l1-l0）2+mv2。此時，小球的速度沿水平方向。結合k（l1-l0）-mg=m，可得v=。

（2）假設小球剛好運動到與O點等高處。此時，速度和彈簧彈力都為零，系統的機械能為mgl2。由于v0=，開始時系統的機械能為mv+EpF>mgl2，小球運動到與O點等高處時速度不為零，水平方向的合外力也不能為零，故彈簧彈力不能為零，小球繼續向上運動，使得最高點高于O點。

2 誤區分析

以上是比較常見的“答案”，但存在誤區，甚至是錯誤。問題（1）直接把P點默認為彈簧擺運動軌跡的最低點［１］，并單純地假設小球的運動軌跡為一個圓周，那么最低點處的彈簧長度就是小球曲線運動的曲率半徑。同樣，問題（2）的解題思路是簡單地認為有了mv+EpF>mgl2這一條件，就能確定小球到達的最高點在O點的上方。

3 彈簧擺的動力學微分方程組

對于勁度系數為k、自然長度為l0及小球質量為m的彈簧擺，考慮空氣阻力的影響時，將彈簧懸掛點作為原點，建立一個直角坐標系。接著，在水平和豎直兩個方向分別對小球進行受力分析，從而得到兩個方向的動力學方程，即

mx''=-（-l）-μx'my'NGyVEQJqMY/9sCPIcrWfyw=='=-（-l）-mg-μy'

式中，μ為空氣阻力系數，可設μ=0。

4 Mathematica仿真模擬程序設計

彈簧擺的仿真模擬程序主要運用了Mathematica軟件中的交互式操作Manipulate、求微分方程組數值解的NDSolve、繪制參數圖命令ParametricPlot、二維圖形命令Graphics和圖形顯示命令Show等。Mathematica軟件的交互式操作功能可以在程序中將彈簧擺的屬性以及初始條件設置成多個控制變量，通過移動滑尺輸入不同的變量值，仿真不同參數條件的彈簧擺運動。使用NDSolve求解動力學微分方程組，ParametricPlot命令不僅可以繪制出彈簧擺的運動軌跡，還可以繪制出彈簧長度、速度大小、軌跡的曲率半徑、動能、彈性勢能和重力勢能等與水平位移的關系。

為了更好地模擬和研究彈簧擺的運動情況，利用二維圖形命令Graphics配合線段Line命令和圓盤Disk命令繪制出彈簧擺，并在圖形命令中加入箭頭命令Arrow、文本命令Text等以更直觀地觀察小球運動過程中速度和能量變化的情況；程序命令Manipulate中的圖形顯示命令Show搭配使用條件命令If可以通過設置控件選擇同時顯示多個圖像。在程序中通過加入控件命令Trigger設置觸發器按鍵，即開始鍵、暫停鍵和重置鍵，可方便觀察任意時刻彈簧擺的運動情況。

5 Mathematica數值模擬結果分析

5.1 水平位置保持原長無初速度釋放的運動

根據問題（1）情境，g=9.8，參數隨機取m=1，k=10，l0=3，初始條件設為x0=l0，y0=0，x'0=0，y'0=0，借助Mathematica軟件進行數值仿真模擬。

5.1.1 彈簧擺的運動軌跡

彈簧擺在不同時刻的運動軌跡如圖3所示。

在此程序中可以觀察到每一時刻小球運動的位置、速度大小和方向。如圖3（a）所示，當彈簧擺第一次擺到豎直位置時，小球速度不在水平方向上，發現運動軌跡的最低點位于原點右側，并且在豎直位置下方。如圖3（b）和圖3（c）所示，彈簧擺的運動是一種復雜的非線性運動，彈簧擺的最低點第二次出現在原點左側。由此可知，最低點不一定在原點正下方，也可以在原點兩側，難以確定。由于彈簧擺的運動軌跡逐漸形成包絡面，視覺上容易造成最低點在原點正下方的錯覺［２］。經過模擬可知，彈簧擺的自然長度l0一定時，k/m越大，運動軌跡越接近半圓周。

（a）t=1.46 s （b）t=4.74 s

（c）t=25.1 s

圖3 不同時刻彈簧擺的運動軌跡

5.1.2 彈簧擺的速度大小與水平位移的關系

速度大小與水平位移的關系如圖4所示，小球的最大速度在原點兩側，不在最低點。彈簧擺擺動到最左側或最右側時的速度并不一定為零。在每次的往返運動中，速度大小總是先增大后減小再增大然后減小，彈簧擺每次經過原點正下方時的速度也是變化的。

圖4 彈簧擺的速度大小與水平位移的關系

5.1.3 彈簧長度、軌跡曲率半徑與水平位移的關系

彈簧長度、軌跡曲率半徑與水平位移的關系如圖5所示，在彈簧擺的每一次從右往左再從左往右的運動過程中，彈簧長度均是先增加后減小，彈簧長度和軌跡曲率半徑在小球經過原點正下方時都是變化的。且彈簧擺在最低點處的曲率半徑是小于此時彈簧長度的。

圖5 彈簧長度、軌跡曲率半徑與水平位移的關系

5.1.4 動能、彈性勢能、重力勢能與水平位移的關系

取m=0.5，l0=1，其他條件不變。如圖6所示，彈簧擺由靜止開始釋放，做往返運動的過程中，重力勢能的變化是先減小后增大，彈性勢能是先增大后減小，動能是先增大后減小再增大然后減小，任意時刻三者相加和為零，系統能量守恒。

圖6 動能、彈性勢能、重力勢能與水平位移的關系

5.2 豎直位置僅有一水平初速度的運動

根據問題（2）情境，參數可仍取m=1，l0=3，初始條件為x0=0，y0=-l2=-（l0+mg/k），y'0=0，x'0=，只改變k值，運行程序得到結果如圖7所示。

當k=8 N/m，t=30 s時，小球的運動軌跡如圖7（a）所示，發現小球所能到達的最高點位置在O點下方。如圖7（b）所示，當k=40 N/m時，小球在30 s內的運動軌跡仍在O點下方，無法高于O點。改變k的取值再進行多次模擬，通過觀察和分析數值模擬的實驗結果，可得出結論：小球的運動軌跡包括小球到達的最高點能否高于O點，是由彈簧的自然長度、勁度系數和小球的質量共同決定的［３］，并且由于彈簧擺的運動較為復雜，小球運動軌跡出現高于O點的情況，其所需滿足的具體數據條件較苛刻。

（a）k=8 N/m （b）k=40 N/m

圖7 不同k值時的運動軌跡

6 結束語

利用Mathematica軟件設計的仿真實驗程序，通過改變變量的輸入值，能實時、動態地模擬出不同條件下彈簧擺的運動情況。Mathematica軟件的符號和數值計算功能、虛擬模擬功能、圖形繪制功能、交互式操作功能以及數據處理功能都非常強大。在物理教學過程中，不僅能模擬各種復雜的物理現象，還能設計開發仿真交互實驗，幫助學生理解抽象的物理概念，使其在物理教學中具有巨大的潛力。

參考文獻：

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［７］邱曉峰，林冰冰．整合信息技術的高中物理課堂體驗式教學實踐［Ｊ］．物理教學探討，２０１７，３５（７）：６６－６７．

（欄目編輯 賈偉堯）

收稿日期：2024-06-06

作者簡介：江小萍（1999－），女，碩士研究生，主要從事物理學科教學研究。

*通信作者：文偉（1985－），男，副教授，主要研究凝聚態體系和離子阱系統中的量子計算和量子信息基礎。