一元一次方程助力“農場主”的誕生

學校“尚臻園”準備了12個長寬為4m×1.5m的種植箱讓同學們感受蔬菜從播種到收獲的一生。夏天，飯桌上常以綠色蔬菜和瓜類為主。下表是3月可以開始種植，夏季收獲的常見蔬菜，以及它們的產量、平均成本和平均售價。

[蔬菜品種 番茄 空心菜 黃瓜 絲瓜 產量（kg/m2） 10 7 8 6 平均成本（元/m2） 9 6.5 7.5 2.5 平均售價（元/kg） 5 5 6.5 8 ]

問題一：整個收獲季，食堂為全校師生烹飪午餐需要兩種蔬菜，共計600kg，請同學們通過合理規劃種植面積，讓種植箱發揮最大的功能，收獲更多的蔬菜，實現“蔬菜自由”。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]四種蔬菜選兩種進行種植，一共可以產生多少種方案？我們可以通過舉例的方式列出來。每種方案是否可取，我們需要根據題目給的條件進行篩選。同時，為了滿足食堂需求，是需要剛好種植出600kg，還是比600kg多，我們要用不同的眼光去看待。

問題二：為了滿足食堂的蔬菜需求，現每名同學擁有600元可支配成本，請根據每種蔬菜平均JDhKL8gAW3lF2KAgozDzUg==成本及售價，設計出最優方案，實現600kg蔬菜的經濟最優化。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]600kg蔬菜經濟最優化是指在可使用成本600元之內的純利潤最大，但在這里并不代表成本要等于600元 ，而是要不超過600元，所以600元只是方案篩選的一種限制條件。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級＼12＼P48解法.psd>[解法一：]

問題一：12×1.5×4=72（m2）。

①設種番茄xm2，空心菜（72-x）m2。10x+7（72-x）=600。解得x=32，72-x=40。

②設種番茄xm2，黃瓜（72-x）m2。10x+8（72-x）=600。解得x=12，72-x=60。

③設種番茄xm2，絲瓜（72-x）m2。10x+6（72-x）=600。解得x=42，72-x=30。

④設種空心菜xm2，黃瓜（72-x）m2。7x+8（72-x）=600。解得x=-24，72-x=96（舍）。

⑤設種空心菜xm2，絲瓜（72-x）m2。7x+6（72-x）=600。解得x=168，72-x=-96（舍）。

⑥設種黃瓜xm2，絲瓜（72-x）m2。8x+6（72-x）=600。解得x=84，72-x=-12（舍）。

所以可以種植番茄32m2和空心菜40m2，或者種植番茄12m2和黃瓜60m2，或者種植番茄42m2和絲瓜30m2。

問題二：①32×9+40×6.5=548＜600，10×32×5+7×40×5=3000（元），3000-548=2452（元）；

②12×9+60×7.5=558＜600，12×10×5+60×8×6.5=3720（元），3720-558=3162（元）；

③42×9+30×2.5=453＜600，42×10×5+30×6×8=3540（元），3540-453=3087（元）。

因為2452＜3087＜3162，所以選擇種植番茄12m2和黃瓜60m2為最優化方案。

【點評】這名同學認為問題一需要滿足食堂600kg的需求，通過枚舉法將四選二的6種可能結果全部列舉出來，是標準的解決方案選擇類問題的第一步。該同學通過考慮實際問題的限制條件來篩選方案，同時也關注到問題二中成本對方案選擇的限制作用。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級＼12＼P48解法.psd>[解法二：]

問題一：12×1.5×4=72（m2）。

600÷10=60（m2），600÷7=[6007]（m2），600÷8=75（m2），600÷6=100（m2）。

因為60＜72＜75＜[6007]＜100，所以無法找到合理數據選擇空心菜和黃瓜、空心菜和絲瓜、黃瓜和絲瓜的組合，必須選擇番茄和另一種蔬菜的組合。具體可能情況如下表（單位：m2）：

[番茄+空心菜 番茄+黃瓜 番茄+絲瓜 32 40 ②12 60 ③42 30 39 30 20 50 48 20 46 20 28 40 54 10 ④53 10 36 30 60 0 ①60 0 44 20 52 10 60 0 ]

問題二：①方案獲利2460元，但不存在該方案，因為只有一種蔬菜；④方案規劃合理且獲利2458元；②方案獲利3162元；③方案獲利3087元。

根據驗算后的數據，我用12m2種番茄，60m2種黃瓜，支出成本558元，全部售價3720元，獲得最優化利潤3162元。

【點評】這名同學通過極限思維思考，將四種蔬菜在600kg極根情況下的單位產量進行測算。如果只種一種蔬菜，得到每種蔬菜所需的種植箱面積，發現空心菜、黃瓜、絲瓜所需要的種植箱面積超出72m2，所以必須種植番茄對這三種蔬菜進行補充。該同學將每種可能出現的整數解情況通過列表展現出來，不僅得到數據的過程復雜，而且不全面，因為實際問題中會出現非整數解情況。針對這兩種不足，這里如果利用一元一次方程可以很好解決。

同時，這名同學在問題一中認為72m2種植區域不一定用完，也就是產量可以超過600kg，但是在問題二中又認為72m2種植區域一定要用完，能看出兩種想法的矛盾。這里我們需要對一種想法一以貫之，堅持到底。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級＼12＼P48解法.psd>[解法三：]

問題一：12×1.5×4=72（m2）。

因為10＞8＞7＞6，所以相同面積中，番茄和黃瓜的產量較大。

設番茄的種植面積為xm2，黃瓜的種植面積為（72-x）m2。

10x+8（72-x）=600。解得x=12。

題目并未有其他要求，只需滿足食堂總需求即可，所以總產量越多越好。當番茄種植量越來越多時，總產量也會越來越多。所以當x無限接近72時，產量最大，所以12≤x＜72。

問題二：考慮1m2各蔬菜的獲利情況。

番茄為10×5-9=41（元），空心菜為7×5-6.5=28.5（元），黃瓜為8×6.5-7.5=44.5（元），絲瓜為6×8-2.5=45.5（元）。

因為45.5＞44.5＞41＞28.5，所以相同面積（1m2）中，絲瓜、黃瓜、番茄的獲利較高。

以等于600kg為臨界位置，總產量越多越好。

①設種黃瓜ym2，絲瓜（72-y）m2。

8y+6（72-y）=600。解得y=84＞72（舍）。

②設種番茄xm2，絲瓜（72-x）m2，總獲利W元。

10x+6（72-x）=600。解得x=42＜72。W=41x+45.5（72-x）=3276-4.5x。

當x越來越大時，利潤W會越來越小。所以當x=42時，W有最大值，為3087元。

③設種番茄xm2，黃瓜（72-x）m2，總獲利W元。

10x+8（72-x）=600。解得x=12＜72。W=41x+44.5（72-x）=3204-3.5x。

當x越來越大時，利潤W會越來越小。所以當x=12時，W有最大值，為3162元。

所以選擇種植番茄12m2、黃瓜60m2所得經濟最優化。

【點評】這名同學關注到“食堂需求是600kg”并不代表“種植箱”產能只能為600kg，而是代表在滿足學校食堂需求量的情況下，“種植箱”的最低產能為600kg。因此，他利用一元一次方程將x的取值調整為一個范圍，這是非常值得贊賞的。但他忽略的是，在選取蔬菜時，并不能簡單以單位產量最大作為滿足條件的選擇對象，也存在最大產量與中間產量的組合作為滿足條件的選擇對象。例如解法一中，番茄和空心菜、番茄和絲瓜的組合也能夠滿足需求，所以在方案設計最初出現了漏解的情況，但在進一步優化方案時又體現了可以有三種方案的選擇。

為什么在三種解法中，大家最終提供的可選取方案中總是要選取番茄呢？

在四種蔬菜中，產量最高的是番茄，其次是黃瓜。當所有面積全部用于種黃瓜時，總計可獲得576kg黃瓜，沒有達到食堂需求。因此，在所選取的兩種蔬菜中一定需要單位面積產量最高的番茄作為填補。

可見，對于方案規劃類問題，首先，我們要對可能出現的結果分類，堅定以一種想法走到底，抓住問題中的等量關系，列出對應的一元一次方程并解出答案。其次，我們要根據問題中的條件限制、生活中的常識等對方案進行取舍。當然，也可以利用等量關系將需要求解的內容用字母表示出來，通過一般規律對方案進行理性篩選。