結構化視角下二次函數“零點式”中考復習

【摘要】建立數學知識結構是數學學習的基礎.面向中考的復習課教學應該在知識的理解、技能的掌握及思想方法的融會貫通上有重要突破，實現復習階段的育人價值.將已學知識連接起來，是復習的重點.本文通過中考試題談二次函數復習課中如何在結構化視角下運用“零點式”解決綜合問題，進而實現核心素養的真正落地.

【關鍵詞】結構化；二次函數；初中數學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，“教師需充分意識到學生是學習的主體，要引導學生圍繞基礎知識學習概念、獲取新知、探究本質、解決問題，逐步從基礎知識基本技能學習走向綜合知識學習，確保代數學習過程成為運算能力發展、思維品質提升、知識體系建構和學會學習的成長過程”.然而在省統考命題、復習任務重、應試壓力大等因素的作用下，九年級的二次函數、一元二次方程及不等式復習課教學往往存在以下問題：教學內容“空殼化”“碎片化”，缺乏中心引領和精心的知識串聯；教師孤立講解基本知識，使學生對一元二次方程、二次函數的學習停留在記憶零散知識點上，缺乏結構上的連接；教學以“填鴨式”講解及機械練習為主，導致學生的學習停留于淺層理解記憶層次，學習積極性不高，自主學習能力弱.所以需要在結構化視角下進行初三教學任務，改變過于注重以課時為單位的教學設計.復習課不是新授課，不能一節一節來，要在整體結構下設計教學，再分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養.

1 結構化視角下構建聯系，提升能力

結構化視角下數學復習設計由兩個環節構成：有聯系的分析和基于分析的開發設計.有聯系的分析分三步走：第一步，根據課標梳理內容，建立知識點聯系，提煉本模塊主要內容；第二步，根據同一主題內前后聯系，分析本模塊學生學情，結合模塊內容確定模塊教學目標；第三步，分析比較不同版本教材對本模塊的編排情況，明確本模塊教學結構.

基于分析的開發設計指的是復習教學單元設計，主要是指從模塊入手，設計超出模塊的任務，形成單元整體教學，幫助學生完善知識結構體系，實現核心素養真正落地.方程、不等式、函數之間是緊密相連的，從七年級的一元一次方程開始到二元一次方程，再到不等式，函數一環接著一環，從未間斷過，怎么實現知識的串聯，形成體系，就是作為一線教師該思考和解決的問題.本文就是利用函數的“零點式”聯系函數、方程、不等式.

2 結構化視角下形成結構，發展素養

數學是一門知識結構嚴謹的學科，單元和單元之間、每個單元內的知識點之間不是孤立的，而是具有邏輯聯系的整體結構.通過合適的模塊構建內容結構，引導學生用聯系的、整體的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養.因此我們可以提煉出復習二次函數和一元二次方程模塊的主要內容：一元二次方程解的個數與二次函數零點之間的聯系，函數圖象與x軸交點個數之間的關系；（2）通過一元二次方程、二次函數、不等式相結合的題型，培養數形結合的能力與綜合運用知識的能力.

現以2023年浙江省各地中考題為例，雖然題目不一樣，但考查的知識、能力都一脈相承.

例1 （2023年杭州中考卷第8題）設二次函數y=a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是實數），則（ ）

（A）當k=2時，函數y的最小值為-a.

（B）當k=2時，函數y的最小值為-2a.

（C）當k=4時，函數y的最小值為-a.

（D）當k=4時，函數y的最小值為-2a.

分析 此題直接給出二次函數的零點式，聯系函數的零點、方程的根、圖象與x軸的交點均可以得到結果，從而求出函數的對稱軸x=m+m+k2=m+k2，將x=m+k2代入表達式，可得函數的最小值為y=am+k2－mm+k2－m－k=a·k2－k2=－a4k2.此題如果像寧波卷一樣，將二次函數改為y=ax2－（2m+k）x+m（m+k），那難度將大幅提升.

例2 （2023年麗水中考）已知點（－m，0）和（3m，0）在二次函數y=ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上.

（1）若二次函數的圖象經過點An，3且點A不在坐標軸上，當－2<m<－1時，求n的取值范圍；

（2）求證：b2+4a=0.

分析 我們知道函數的零點、一元二次方程的根、圖象與x軸的交點，是三個不同的概念，但卻是一樣的結果.由題意知（－m，0）和（3m，0）是函數圖象與x軸的交點，所以可以寫出零點式y=a（x+m）（x－3m），也可以得出方程ax2+bx+3=0的兩個根為x1=－m，x2=3m，由韋達定理得x1+x2=－ba，x1x2=3a，從而可以建立參數a，b，m之間的聯系；而在（2）中，由求證的式子，聯想到判別式，引進新的函數解析式y1=ax2+bx－1，從而將第（2）小題中的證明問題轉化為二次函數y1與x軸的交點個數問題，下面給出解答過程：

（1）由二次函數表達式知圖象過定點（0，3），因為An，3，所以對稱軸可表示為x=n2.

因為點（－m，0）和（3m，0）在圖象上，

所以對稱軸也可以用x=m表示，即n=2m.

又因為－2<m<－1，所以－4<n<－2.

（2）設y1=ax2+bx－1，

y1=ax2+bx－1的圖象可以由y=ax2+bx+3的圖象向下平移4個單位得到.

因為ax2+bx+3=0的兩個根為x1=－m，x2=3m，

由韋達定理得x1+x2=－ba，x1x2=3a.

所以a=－1m2.

因此二次函數y=ax2+bx+3的頂點式為y=－1m2（x－m）2+4，由此可見，函數y=ax2+bx+3向下平移4個單位就得到y=－1m2（x－m）2，與x軸只有一個交點，如圖1.

方程ax2+bx－1=0只有一個實數根，故判別式b2+4a=0.

在2024年全省命題的背景下相信含參的二次函數仍是考查的重點，下面可看到2024年浙江山海聯盟22題，它是去年嘉興中考卷的同胞題，教師只需將一個題目講透徹，抓住二次函數考查的重點及變化方向，教會學生更好地利用零點式，這類問題都將迎刃而解.

例3 （2024年浙江山海聯盟）已知點Am，p，B3，q，Cm+2，p都在二次函數y=2x2+bx+4的圖象上.

（1）若m=1，求該二次函數的表達式；

（2）求p+q的最大值；

（3）若p<q<4，求m的取值范圍.

分析 第（1）題由點的關系得對稱軸x=m+m+22=m+1，而由解析式知對稱軸x=－b4，所以b=－4（m+1）①；第（2）題求最值，改變了求原題二次函數最值，而是構造了新的函數關系式：p+q與m的二次函數，求新的二次函數最大值.下面給出解答過程：

（2）解法1 因為Am，p在y=2x2+bx+4的圖象上，則p=2m2+bm+4，再將①代入可得p=－2m2－4m+4，同理q=－12m+10.故p+q=－2m2－16m+14=－2（m+4）2+46，因此p+q的最大值為46.

解法2 受嘉興卷的啟發，p的值還可以利用兩點式、韋達定理得到.構造新函數y1=2x2+bx+4－p，則m，0和m+2，0是函數y1的圖象與x軸的交點，也就是方程2x2+bx+4－p=0的兩根為m，m+2，由韋達定理m（m+2）=4－p2，即p=－2m2－4m+4，可避免①的代入過程.q的求解與最值求解同解法1，這里不贅述.

第（3）題選擇解法1或解法2就得到兩種解法，也相當于鞏固與練習兩種思想方法.先看解法1：

（3）解法1 由（2）知p=－2m2－4m+4，q=－12m+10；因為p<q<4，則可得不等式－2m2－4m+4<－12m+10<4，對于初中生這樣的不等式如何解往往是學生的難點，在教學過程中教師要先對不等式進行處理，轉化為兩個不等式－2m2－4m+4<－12m+10②，－12m+10<4③.

③式可解得m>12；解②式還是存在困難，解一元二次不等式，是高中的要求，如何轉化，用已學過的知識去解答是本題的關鍵.

首先－2m2－4m+4<－12m+10通過移項轉化為2m2－8m+6>0，即m2－4m+3>0.此不等式仍不會解，這時就要聯系不等式、方程、函數的關系，構造函數t=m2－4m+3，可得它的零點式t=（m－1）（m－3），畫出函數t的圖象，如圖2.

因為t>0，結合二次函數圖象可得m<1或m>3.

綜上所述，m的取值范圍為12<m<1或m>3.

解法2 構造新函數y1=2x2+bx+4－p，它的圖象可看成由函數y=2x2+bx+4的50/IRtKNHc51rbpOiDJVhg==圖象向上或者向下平移p個單位得到.

由題意可得新函數y1=2x2+bx+4－p過點Am，p，Cm+2，p，所以函數零點式為y1=2（x－m）（x－m－2）.

由p<q可知當x=3時，y1>0，即（3－m）（1－m）>0，

因此m<1或m>3.

故m的取值范圍為12<m<1或m>3.

3 結構化視角下避開誤區，提質增效

在復習二次函數時，教師還需提供給學生合適的練習，那么如何在結構化視角下設計二次函數、一元二次方程、不等式這一模塊練習就非常重要.在設計的過程中，教師要注意避開三個誤區.

誤區1 正確區分新授課作業和復習課作業.布置新授課

作業的目的是達成本節教學目標，因此作業可分為必做和選做兩部分，按學生的能力分配作業.復習課作業需分層設計，分基礎題和能力題，基礎題用來鞏固本模塊的基本知識，能力題用來提高學生的綜合能力.

誤區2 正確使用自編作業和現成練習冊.自編作業是根據學生自身水平進行編制，具有針對性，但常常不夠系統、難度層次性不夠.現成練習冊是各地中考題和典型題目的分類整理，具有代表性，但可能與實際復習課關聯性不強.

誤區3 區別對待復習課練習和課后作業.在二次函數“零點式”復習課的建構中，課前練習、課堂檢測和課后作業的相互協調、補充是作業設計的關鍵.課前練習決定復習教學的起點；課堂檢測決定教學的節奏和方向；課后作業是課堂教學的延伸.

4 結語

基于復習的目的和教學實際，復習教學的訓練不能簡單地認為只有課后作業，而要系統設計，形成結構化的練習.在結構化視角下設計二次函數“零點式”課堂教學內容、課后作業內容，才能推動學生高效學習，提升綜合素質，發展核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部 義務教育數學課程標準（2022版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]茅莉萍.結構化視角下初中數學單元教學設計初探[J].中小學數學，2024（Z1）：18-20.

[3]王紅權.省級統一命題背景下初中數學復習教學的思考與實踐[J].教學月刊（中學版），2024（03）：18-23.