倍半角模型的解讀與應用教學

【摘要】在倍半角模型的教學過程中，建議按照“模型解讀—解題指導”的思路來設計.“模型解讀”從等腰三角形特性出發，梳理建模策略；“解題指導”要注意精選典型問題，突出模型構建過程，引導學生整合條件構建思路.

【關鍵詞】倍半角模型；建模思想；輔助線；角度關系

1 引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑，初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義”.倍半角模型是初中幾何解題過程中常見的內容，教學中需要重點講解，建議梳理知識內容，構建幾何模型，結合實例開展應用探究.考慮到倍半角模型與等腰三角形有著緊密的關聯，模型解讀時可以從等腰三角形的性質出發，探索作輔助線構建模型的策略，引導學生逐步探究，構建模型的知識體系.

2 模型解讀

2.1 知識背景

等腰三角形中實際隱含了“倍半角”的知識點，教學中可結合具體圖示講解其中的角度關系.如圖1所示的等腰△ABC中，有AB=AC，則∠CAD=2∠B.

2.2 特殊半角講解

幾何中常見一些特殊的半角，如15°角，22.5°角，邊長比值為“3∶4∶5”的角，教學中可以引導學生利用倍半角模型來梳理特殊角的計算思路，下面以構造15°角為例具體講解如何求tan75°的值.

求解思路：如圖2所示，作圖構建.

第一步，構造一個含有30°角的Rt△ABC，設BC=1，AC=3， 則AB=2；

第二步，延長CA至點D，使AD=AB，則AD=2，連接BD，構造出等腰△ABD.

計算方法：分析可知∠D=12∠BAC=15°，則∠CBD=75°，故在Rt△DBC中，有tan75°=tan∠DBC=CDBC=2+31=2+3.

通過此思路可以解決67.5°角和其他特殊直角三角形中存在的倍半角模型的相關習題，教學中注意引導學生作輔助線，拓展學生的思維.比如已知tanα=34，如何求tan2α和tanα2.

解析指導如圖3所示，可以構造Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，∠BAC=α，則tanα=34.可通過作AB的垂直平分線交AC于D，連接BD，則BD=AD，則∠BDC=2α. 設CD=x，則BD=AD=4－x，在Rt△BCD中，由勾股定理可得：x2+32=（4－x）2，解得x=78，所以CD=x=78. 在Rt△BCD中，所以 tan2α=BCCD=3÷78=247.如圖4所示，延長CA至E使AE=AB，連接BE，則AE=AB=5，∠BAC=2∠E，所以CE=9，∠E=12∠BAC=12α. 在Rt△BCE中，tanα2=BCCE=39=13.

2.3 模型建立

關于等腰三角形的倍半角模型，存在兩種情形，即半角向外構等腰，倍角向內構等腰.教學中建議分類構建模型，講解模型特點，通過觀察、探究、推理，總結得出性質結論.

2.3.1 向外構造等腰，得“半”角

如圖5所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊分別為a，b，c，∠BAC=θ，若求θ2的三角函數值.可在直角三角形的外部構造等腰三角形，形成倍半角模型，則∠BDC=θ2.同時，在直角三角形中，tanθ=ab，則可以推得tanθ2=ab+c.

解題思路 在已知“倍角”求“半角”的情形中，則可以將該倍角所在的直角三角形相應的直角邊順勢延長，實現“等腰現，半角出”.

2.3.2 向內構造等腰得到“倍”角

如圖6所示，可視為是在直角三角形的內部構造等腰三角形，即在直角三角形的直角邊上取點（作斜邊的垂直平分線即可），形成倍半角模型.對于內部的直角三角形，若設出直角邊為x，則利用勾股定理構造方程，即可解出x，進一步可求出tanθ.

解題思路 在已知“半角”求“倍角”的情形中，則可以作該半角所在的直角三角形的斜邊的垂直平分線與相應的直角邊相交即可得到交點，構造等腰三角形即可實現“等腰現，倍角出”.

3 解題指導

例1 如圖7所示，在△ABC中，已知AC=11，點E在邊AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD=8，則BC= .

解析指導 本題目的核心條件——∠A=2∠CBE，顯然存在倍半角關系，解析突破時可以考慮構建倍半角模型來轉化.

如圖8，延長BD到點F，使得DF=BD，再過點C作CH∥AB，交BF于點H，如圖8的虛線所示，顯然構建了倍半角模型.分析可知直線CD是線段BF的垂直平分線，則可得BC=CF，△BCF為等腰三角形.同時可得出∠ABE=∠CHD=2∠CBD=2∠F，所以∠EBC=∠F，故HF=HC.結合兩直線平行和等腰三角形的性質可進一步求得EH=EC，又因EA=EB，則BE+EH=AE+EC，即BH=AC，則可求出DH=BH－BD=AC－BD=3，HF=HC=5.

在Rt△CDH中，利用勾股定理可求得CD=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可求得BC=45.

解后思考 上述在求解線段長時，采用構建倍半角模型的策略，利用模型特性來串聯轉化條件.實際應用中需要指導學生關注兩點：一是關注倍半角的條件，提取角度所在圖形；二是分析圖形結構，合理選取構造倍半角模型的策略.

4 總結

關于倍半角模型的指導教學，建議參考上述思路設計，從等腰三角形的性質出發，探索模型構造的兩種思路，生成對應建模策略，后續再結合實例開展解題指導，拓寬學生的解題視野.教學過程中注意合理滲透建模思想，引導學生掌握建模方法，感悟其思想內涵，提升學生的解決問題的能力，發展幾何直觀、推理能力、運算能力、模型觀念和應用意識等核心素養.