初中數學問題導向學習與問題鏈設計

【摘要】數形結合是初中數學重要的思想之一，特別是解答代數與幾何的融合性問題時，數形結合思想是非常重要的解題工具.本文根據初中備考復習情況，以問題為導向，以問題鏈的形式設計“數形結合”專題復習教學.

【關鍵詞】數形結合；初中數學；教學設計

數形結合往往是借助圖形解決數的問題，但是“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.初中數學分為幾何與代數，而連接這兩大版塊的主要橋梁就是數形結合.很多地方都少不了數形結合思想，如一元二次函數與一元二次方程問題、對稱問題、動點幾何圖形的面積問題等.可見數形結合的重要性，由此在中考備考復習時，應重視“數形結合”專題復習.本文根據學生情況，設計以問題為導向的教學，利用問題鏈由簡到繁、循序漸進，以培養學生的數形結合思維能力.

1 數形結合的認識

數形結合是一種解題技巧，是一種思維方式，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，實質是直觀想象的一種表現形式.應用過程實質是數與形之間的轉化，所以具體有兩個方面的應用：一是以數來解形的問題，如已知三角形的三個頂點坐標，求點的對稱求最值問題；二是以形代數來解決問題，如解形如x－2－x+3=6的方程.

2 教學過程設計片段

根據對數形結合的分析和認識，接下來分“以數解形”和“以形代數”兩個項目進行，以問題為導向，利用問題鏈循序漸進地突破數形結合的應用問題.

2.1 以數解形——探究對稱最值問題

問題1 如圖1所示，已知直角坐標系中，點A1，3，點B與點A關于x軸對稱，求點B的坐標.

師生活動 教師組織學生通過已知圖形，或者借助圖形尋找數的關系.如問題1中，點B與點A關于x軸對稱，通過圖形觀察發現：兩個點處于同一縱向水平線上，且兩點與x軸的距離一樣，則設Bx，y，得x=1，y=－3.

問題2 在問題1的基礎上，在x軸上求一點Q，使AQ+BQ的值最小.

師生活動 組織學生探究，結合三角形形成條件，如圖2所示，點Q在x軸上左右變動，當A，Q，B三點共線時，AQ+BQ的值最小，為AB.

問題3 如圖3，已知在直角坐標系中，M2，4，N－1，3，式在x軸上求一點P，使MP+NP的值最小.

師生活動 問題3是在問題1和問題2的基礎上進行設計，該問題完全由學生解答，然后選取部分學生的解答進行展示.

設計意圖 前提條件是本節課是專題復習，所以問題均是以實際題目為主，以問題為導向，第二個問題是在第一個問題基礎之上，問題3是進一步鞏固.該項目的學習，體現了根據數來解決對稱問題，一方面Ax1，y1與Bx2，y2關于x軸對稱，則x1=x2y1=－y2；另一方面兩條線段之和最小，則三點共線，轉化為兩點間的距離.

2.2 以形代數——絕對值方程解法探究

問題4 解方程x－1=5.

師生活動 由學生自行解決，該題目學生一般會解，解法有兩種：一是直接去絕對值符號；二是借助數軸，如圖4，利用數軸確定絕對值里面式子的符號，再去絕對值.為了和后面問題銜接，引導學生采用第二種方法.

問題5 解方程x－1－x+2=1.

師生活動 引導學生進行探究，利用數軸（如圖5）確定x－1和x+2的符號，然后根據符號去絕對值，從而解出方程的根.

設計意圖 該項目是從解方程x－1=5到解方程x－1－x+2=1，問題緊扣，利用解方程x－1=5引導學生學會利用數軸確定絕對值符號，去絕對值，從而引出兩個絕對值的方程解法探究.以問題為導向，以突破絕對值方程解法，體現以形代數.

3 教學評價

例題 解方程x－12－x+22=1.

解析 因為x－12－x+22=1，

去根號得x－1－x+2=1.如圖6所示，

當x<－2時，x－1<0，x+2<0，

所以－x－1+x+2=1，即3=1無解；

當－2≤x<1時，x－1<0，x+2≥0，

所以－x－1－x+2=5，

即－2x=2，解得x=－1；

當x≥1時，x－1≥0，x+2>0，

所以x－1－x+2=1，即－3=1無解.

綜上所述，方程x－12－x+22=1的解為x=－1.

評注 該題是在問題5的基礎上，將絕對值變為了根號，去根號后增加絕對值，和問題5一樣.

4 結語

本文針對數形結合專題復習的教學進行設計，把數形結合思想分成兩個方面：一是“以數解形”，具體放在對稱求最值的問題情境當中；二是“以形代數”，具體放在解決含絕對值的分成問題情境中.以問題為導向進行學習，根據實際情況，設置的問題一環扣一環，由易到難、循序漸進進行教學.值得說明的是，一是文章不是完整的教學設計，只是針對核心部分，對體現問題導向和問題鏈的教學過程進行了展示；二是本節課是對數形結合的專題復習，學生是在已有知識基礎的前提下，深入探究數形思想，所以問題的設置都是以實際題目進行.

【本文系2023年度廣州市教研院深度教學專項課題研究成果，課題編號：2023sdjx25】

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