初中數學作圖題型匯總及解題路徑分析

【摘要】在初中數學的學習中，學生們開始接觸抽象的幾何問題，而尺規作圖類問題中又包含了一些基礎的幾何圖形知識點，如圓形、點、線、角、三角形、多邊形等的位置關系.尺規作圖在學生的學習中能夠很好地培養學生的思維邏輯，由具體向抽象的轉變等，對于學生來說，尺規作圖是整個初中數學中最注重學生動手操作的一個環節，怎樣通過直尺和圓規轉換為角度、弧度、線和面的關系是初中階段學生的難題。

【關鍵詞】尺規作圖；初中數學；解題方法

1 作圖題的作用

初中數學中幾何題型相較于其他問題更為抽象，因此作圖題的出現事實上更有利于學生在數學學習的過程中培養數形結合的思想.作圖題作為由具象到抽象的過渡，在此過程中學生需要通過不斷地學習、不斷地畫出思維圖象的練習以及不斷的對抽象知識點和概念的理解，使學生更好地應用知識結合建構出的模型，找出復雜幾何問題中的潛在規律，更好地、更生動地運用抽象的知識，達到舉一反三的水平.

2 常見的尺規作圖題型

2.1 根據作圖痕跡進行相關計算

例1 如圖1，用尺規作出：∠OBF=∠AOB，作圖痕跡弧MN是（ ）

（A）以點B為圓心，OD為半徑的弧.

（B）以點B為圓心，DC為半徑的弧.

（C）以點E為圓心，OD為半徑的弧.

（D）以點E為圓心，DC為半徑的弧.

解析 題中要求作出∠OBF=∠AOB，由題圖可知，第一步：以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點C，D；第二步：以點B為圓心，OC長為半徑畫弧EF，交射線BO于點E；第三步：以點E為圓心，CD為半徑畫弧，與弧EF交于一點，連接點B與這個交點，即可得出∠OBF，則∠OBF=∠AOB.

小結 本題給出作圖痕跡，學生需要通過題目中的作圖痕跡反推出角與角、邊與邊的關系，從而推出半徑與圓心的位置.

2.2 根據給定方式用尺規作圖

例2 圖2（a）是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形——正八邊形.如圖2（b），AE是⊙O的直徑，用直尺和圓規作⊙O的內接正八邊形ABCDEFG.

解析 如圖3所示，

第一步：分別以A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧交于S點，連接SO并延長交⊙O于點G，C兩點.

第二步：同理作出F，B兩點及H，D兩點，連接AB，BC，CD，DE，EF，FG，GH，HA.

第三步：八邊形ABCDEFGH即為題中所求作的正八邊形.

小結 本題要求學生靈活、熟練掌握尺規作圖中角與角之間的相等關系應如何處理，通過大于兩點連線距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交處定點為角，可以做出三條相交于圓心的線，由此可以確定出多邊形的幾個定點，從而畫出圓的內接正八邊形.

例3 如圖4，在平行四邊形ABCD中，AD>AB.

（1）作出∠ABC的平分線（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若（1）中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF，求證：四邊形ABFE為菱形.

解析 （1）如圖5所示畫圖方法，以B為圓心，任意長度為半徑畫弧交AB，BC于兩點，分別以這兩點為圓心，大于這兩點間距離的12為半徑畫兩條弧交于一點，以B與這個交點確定一條射線，這條射線便是∠ABC的角平分線.

證明（2） 因為BE平分∠ABC，由此可知∠ABE=∠EBF.

因為在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

由此可知∠AEB=∠EBF，

故而∠ABE=∠AEB，AB=AE.

因為AO⊥BE，

所以BO=EO.

因為在△ABO和△FBO中：

∠ABO=∠FBO，BO=BO，∠AOB=∠FOB，

所以△ABO≌△FBO，AO=FO.

因為AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，

所以四邊形ABCD為菱形.

小結 本題考查學生對尺規作圖的概念以及角的相互轉換、三角形的性質、菱形的判定定理的運用.通過作出角平分線，得到兩個相等的角便能使問題簡單化，通過垂直和平行關系可以推斷出相等的邊和線段，由此得到相等的角度關系.再由相等的角度關系轉化為線的關系，從而解決菱形的判定問題.

3 結語

當下教育模式下，大多數學生并不能真正理解尺規作圖的內涵，而是一味地套用作圖模板進行做題，故而教師更應該引導學生理解尺規作圖的本質，從而巧妙地運用作圖的方法解決復雜、抽象的幾何問題.同時學生應認真審題，分析出題中所需作出的圖的作用方法，從而使問題可以運用簡單常規的思路，得以輕松解決.

參考文獻：

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