關于“四邊形的綜合應用”的易錯點解析探究

【摘要】四邊形的綜合應用探究中，需注意解析易錯點，總結知識方法.易錯點有三個，涉及動點分析、圖形變換審視、四邊形與三角形的轉化.本文開展易錯點解讀，并結合實例進行解題指導.

【關鍵詞】四邊形；初中數學；解題方法

“四邊形的綜合應用”是初中數學的重點內容，知識點相對易理解，但其中存在一些易錯點，學生解題應用時易犯錯.教學指導時，建議教師針對性講解易錯點，總結規避策略，并結合實例探究強化.

易錯點1 動點分析找不到變量關系

以四邊形為背景的運動問題中，需要關注其中的動點，但學生應用解析時易分析錯誤，易錯點是找不到其中的變量關系.教學時分情形進行分析指導：情形1，動點的軌跡是線段，則不變量為動點到某條直線的距離保持不變；情形2，動點軌跡為圓弧，則不變量為動點到定點的距離保持不變.因此，分析動點時，需要指導學生探尋其中的定直線或定點.

例1 如圖1所示，點E，F，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA（不包括端點）上運動，且滿足AE=CG，AH=CF.

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）探究：四邊形EFGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關系，并說明理由.

易錯分析 易錯部分集中在第（2）小問，分析大小關系時，若不能合理畫輔助線，則難以找到對應關系.

過程構建 （1）通過證明三角形全等，推導獲得EH=GF和EF=GH，則可以證明四邊形EFGH為平行四邊形.

（2）作圖：作G關于BC的對稱點G′，連接EG′，FG′，AC，如圖1的虛線所示.

根據對稱性可得FG′=FG，CG=CG′.進一步分析可知四邊形AEG′C是平行四邊形，則EG′=AC.因為EF+FG′≥EG′，則EF+FG=EF+FG′≥EG′=AC，則AC的長度就為EF+FG的最小值.又知EF+FG為四邊形EFGH的周長一半，因此可推知四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長.

教學總結 對于四邊形背景中的動點分析，建議注重探尋動點與定直線或定點的關系.解析過程可以構建輔助線，整合幾何性質，特別關注四邊形的邊、角特性.

易錯點2 圖形變換時考慮不全面

以四邊形為背景的圖形變換探究中，需要關注變換過程，提取其中的不變量與變量，再構建全等或相似求解.學生解題分析時若考慮不全面，錯用對應關系或提取定量錯誤，容易造成錯解.

例2 如圖2-（a），在平行四邊形ABCD中，AD=4，AB=8，∠DAB=60°，AB繞A逆時針旋轉，點B的對應點為E，連接BE，CE，設旋轉角度為α（0°<α<180°）.

（1）當α=30°時，AE與直線CD相交于點F，此時，DF的長為；

（2）當△CBE是以CE為斜邊的直角三角形時，則CE的長為.

易錯分析 本題以四邊形為背景，探究其中的線段旋轉，難度適中，易錯點主要集中在第（2）問，學生利用三角形邊、角求解時，很容易記錯其中的對應關系，從而造成錯解.

過程構建 （1）簡答，通過角度分析，可求出DA=DF=4.

（2）如圖2-（b），分析圖象可得∠EBC=90°，BE與AD的交點設為F.通過角度分析可得∠EBA=30°.利用旋轉特性可知AB=AE，∠EBA=F∠AEB=30°，則可得∠EAB=120°，進一步分析可知AF為∠EAB的角平分線，可得AF⊥BE，BF=EF.分析求解線段長，則有AF=12AB=4，BF=AB2－AF2=43，BE=2BF=83，從而可得CE=BC2+BE2=413.

教學總結 教學四邊形背景中的幾何運動，重點應放在不變量與變量的分析提取上.解三角形時，注意邊、角關系的對應指導，可以借助具體的三角形模型，梳理整合其中的線段、角度.

易錯點3 三角形和四邊形間的互化錯誤

四邊形問題解析過程中，通常需要進行三角形與四邊形之間的相互轉化，學生常缺少幾何轉化的意識，轉化思想理解不到位.教學中則建議指導學生掌握圖形轉化的思路方法，立足三角形解析線段或角度，而性質分析可以借助四邊形的特性.

例3 已知點E是菱形ABCD邊BC上的中點，∠ABC＝30°，P是對角線BD上一點，且PC＋PE＝26，則菱形ABCD面積的最大值是.

易錯分析 本題目中需要分析菱形面積的最大值，具體求解時則需要作輔助線構建三角形模型，利用三角形的邊角性質推導，學生若不能合理地作輔助線，則容易陷入思維障礙.

過程構建 取AB的中點為E′，連接CE′交BD于點P，如圖3的虛線所示.根據菱形性質可得∠ABD＝∠CBD，結合BE=BE′可推知點E和E′關于直線BD對稱，則PE＝PE′，可得PE＋PC＝PE′＋PC，分析可知，當PC＋PE′＝CE′＝26時，菱形ABCD的面積最大.

作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M，如圖3的虛線所示，設AB＝BC＝2a，則AM=a，E′H=12a，BH=32a，CH=2a-32a.在Rt△CHE′中，由勾股定理可得CE′2=CH2+HE′2，導入線段長，可求得a2=265－23，則菱形ABCD的面積最大值=BC·AM＝2a2＝20+83.

教學總結 四邊形與三角形的相互轉化是解析復合幾何問題的重要策略，教學中需要指導學生掌握轉換思路.探究以四邊形為背景的幾何問題，通常要基于四邊形的性質推導條件，合理作輔助線構建三角形模型，解三角形再求線段或角度.

結語

總之，四邊形的綜合應用探究中，需關注其中的易錯點，指導學生掌握動點問題中的變量關系分析法，全面審視圖形變換中的“變”與“不變”，構建三角形與四邊形的互化思路.解題分析時，注意開展易錯點辨析，引導構建解題思路.