線段和差問題的處理技巧探究

【摘要】線段和差問題有“和差關系”和“和差最值”兩種類型，問題解析需要采用相應的處理技巧，對線段進行轉化.對于和差關系問題，可以采用全等構造代換、截長補短轉化；而和差最值問題則可以通過對稱轉化處理.本文具體探究三種處理技巧，并結合實例深入剖析.

【關鍵詞】線段和差；初中數學；解題技巧

線段和差問題在初中數學中十分常見，包含“和差關系”和“和差最值”兩類.問題解析需要處理其中的“和差”，常見的有利用全等特性等量代換、截長補短線段轉化，以及對稱轉換共線分析，其中前兩種方法適用于和差關系問題，后者則適用于和差最值問題.下面具體探究.

技巧1 全等構造+等量代換

利用全等三角形等量代換處理線段和差關系，核心是全等三角形的性質的應用，基本思路是借助全等三角形的等線段性質，將和差關系問題轉化為證明兩線段相等的問題.解析時提取或構建全等模型，將分散的線段轉化到同一直線上.

例1 如圖1所示，點D是△ABC底邊BC上的一點，以AD為一邊作等邊△ADE，再連接CE，試證明AC=CD+CE.

方法分析 本題目以三角形為背景證明線段和差關系，可以采用全等構造的方式來等量代換，將線段CD，CE和AC轉換到同一直線上，進而完成證明.

解析 根據題設可知△ABC和△ADE均為等邊三角形，可推知AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

所以∠BAD＝∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

可證△ABD≌△ACE（SAS），

由全等性質可得BD=CE，

所以CE+CD＝BD+CD＝BC＝AC，證畢.

評析 全等代換是處理線段和差關系問題的重要方法策略，解析時一般分為兩步：第一步，構建或提取全等模型；第二步，利用全等性質將所涉及線段轉換到同一直線上，完成線段關系證明.教學探究時，建議引導學生把握突破思路，總結全等模型的構造技巧.

技巧2 截長補短+線段轉化

通過線段的截長補短處理線段和差問題，即解題時在圖形中進行線段延長和截取構造，從而實現線段的等量轉化.通常有兩種方式：一是截長，在長線段中截取一段與另兩條中的一條相等；二是補短，將一條短線段延長，使得與另一短線段相等.

例2 如圖2所示，點B是⊙O上的一點，已知∠ABC=120°，弦AC=23，弦BM平分∠ABC，與AC的交點為點D，再連接MA和MC，回答下列問題.

（1）試求⊙O的半徑長；

（2）證明AB+BC=BM.

分析 本題目以圓為背景，第（2）問證明線段和差關系，可以采用截長補短線段轉化的方法策略.在線段BM上截取短線段，后續利用幾何性質分析來完成轉化證明.

解析 （1）簡證，借助三角函數來證明線段OA長，即OA=2.

（2）證明 在BM上截取BE=BC，再連接CE，如右圖2的虛線所示.

利用角度分析，可證△EBC為等邊三角形，

則∠BCD+∠DCE=60°.

因為∠ACM=∠ABM=12∠ABC=60°，

所以∠ECM=∠DCE=60°，進一步可推知∠ECM=∠BCD.

而∠ABM=∠CBM=60°，

則∠CAM=∠CBM=60°，

∠ACM=∠ABM=60°，可證△ACM為等邊三角形，

則AC=CM，進一步可證△ACB≌△MCE，

可得AB=ME，

結合ME=EB=BM，可證AB+BC=BM.

評析 截長補短證明線段和差關系，其核心知識是幾何構造轉化，通過“截取”“延長”的方式實現等線段構建.上述問題借助了“截取”的方式，在長線段上截取短線段，再通過特殊圖形提取，全等性質完成證明.教學探究時，指導學生理解“截長補短”方法策略的具體含義，再結合問題進行技巧指導，讓學生根據題設條件靈活使用.

技巧3 對稱轉化+共線定理

對于線段和差最值問題，可以采用對稱轉化的策略，即作關鍵點關于直線的對稱點，利用對稱性質進行等線段轉化，將不共線的線段串聯起來，再利用“共線定理”分析最值.實際上該技巧思路是“將軍飲馬”的體現.

例3 如圖3所示，已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（-1，0），B（3，0）和C（0，-3）三點，M為拋物線的頂點，試回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式；

（2）試在該拋物線的對稱軸上找到一點P，使得PA+PC的值最小，并求出點P的坐標.

分析 本題目以拋物線為背景，第（2）問探究線段和的最值，屬于線段最值問題.建議采用對稱轉化的策略，利用對稱性質將線段串聯，再借助共線性質來求解最值.

（1）利用待定系數法求解析式，根據拋物線經過的點，可設其解析式為y＝a（x+1）（x-3），再將點C代入解析式中，可解得a=1，所以拋物線的解析式為y＝x2-2x-3.

（2）利用“對稱轉化+共線定理”來求解線段和最值.

拋物線的對稱軸為直線x=1，點A和點B關于該直線對稱，連接BC，與直線x=1的直線交于點P，由對稱特性可知PA=PB，則PA+PC=PB+PC，顯然當點P，B，C共線時，取得最小值，且最小值就為BC的長，根據點B和C的坐標，可求得BC=32.

利用點B和點C來求直線BC的解析式，設解析式為y＝mx+n，

代入點坐標，則有3k+b=0b=－3，

可解得k=1b=－3，所以直線BC的解析式為y＝x-3，

當x=1時滿足條件，此時點P的坐標為（1，-2）.

評析 “對稱轉化+共線定理”是求解線段和差最值的常用策略，核心知識是對稱特性和“兩點之間，線段最短”.上述求解線段和最值時，首先通過對稱轉化串聯兩線段，再結合共線特性確定點P位置.探究教學中，建議指導學生明晰方法策略的知識核心，再梳理解法步驟.

結語

本文探究了線段和差問題的處理策略，涉及了線段和差關系和最值兩類問題、三種方法.幾何構造、化歸轉化是該類問題破解的常見思想，探究解析時需要注意引導學生總結核心知識，明晰解題思想，在此基礎上梳理方法策略.解題過程指導時，建議指導學生按照“讀題審題，方法分析，過程指導，解后反思”的流程進行，幫助學生積累方法應用經驗.