二次根式型代數式的求解策略

【摘要】 二次根式型代數式的求值問題需要講究一定的方法與技巧，本文結合幾則例題，探討二次根式型代數式求值問題的策略，以幫助學生突破難點，發展學生思維.

【關鍵詞】二次根式；初中數學；解題方法

代數式的求值問題是有一定技巧的，二次根式型代數式的求值問題更需要講究一定的方法與技巧.二次根式型代數式的求解問題，一般有哪些方法呢？

1 配方法

平方與開方，是兩個可逆的運算，因此通過配方可以達到開方的目的.

例1 已知x=12－1，

試求代數式2x2－4x+3的值.

解析 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

所以2x2－4x+3＝2（x－1）2+1＝2（2）2+1=5.

點評 若不配方直接代入，也可以算出結果，但計算量較大，因而容易出錯.其實x=2+1與x=2－1是方程x2－22x+1=0的兩個根.如果要求2x2－42x+3的值，該如何求呢？大家不妨一試.

2 平方法

平方的目的是去根號，從而把無理式轉化為有理式問題進行求解.

例2 已知x=12－1，求代數式3－2x2+4xx2－2x+4的值.

解 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

兩邊平方，得（x－1）2=2，

所以x2－2x=1，

所以3－2x2+4xx2－2x+4=3－2（x2－2x）（x2－2x）+4=3－21+4=15.

點評 當所求表達式中含有未知數的平方時，這種方法往往十分有效.

3 湊零法

所謂湊零法，就是把已知條件通過平方變形為一個左邊為整式右邊為零的整式，再將所求的式子變成含有這個整式的式子.

例3 已知x=23－1，

求代數式3x2－6x+15的值.

解 因為x=23－1，

所以x=3+1，即x－1＝3，

所以x2－2x－4=0，

所以3x2－6x+15

＝3（x2－2x－4）+27=33.

點評 這種“湊零代換”的方法其實就是整體代換，從而有效地避免了根式運算.

4 倒數法

將已知條件取倒數后，再把欲求代數式變成只含已知條件的變形式的形式，最后整體代換，也可以使運算簡化.

例4 已知x=12－1，

求代數式xx2+3x+1的值.

解析 因為x=12－1=2+1，

所以1x=2－1，

所以x+1x=22.

所以xx2+3x+1=1x+1x+3

=122+3=3－22=2－1.

點評 從本題的解答可以看出，將已知條件變形，也是為了整體代換，達到減少計算量的目的.

5 利用對稱性

當已知條件給出的兩個根式具有對稱性時，可先求它們的和與積，然后將欲求的代數式變形成只含它們的和與積的形式，從而代入求解.

例5 已知a=2－12+1，b=2+12－1，求a2+4ab+b2的值.

解析 因為a=2－12+1，b=26fQiFVNb/9bXZ4I4z8+lAQ==+12－1，

所以a+b＝6，ab＝1.

所以a2+4ab+b2=（a+b）2+2ab=36+2=38.

點評 這類問題中已知條件一般有兩個代表無理數的字母，且它們互為倒數，而所要求的表達式是關于這兩個字母的輪換式.

6 分類討論法

當根式能直接開出來但無法確定正負時，需分來討論.

例6 已知|x－1|=3，求x2－6x+9+9x2－6x+1的值.

解析 因為|x－1|=3，

所以x－1＝±3，

即x＝1+3或x＝1－3.

又x2－6x+9+9x2－6x+1

＝（x－3）2+（3x－1）2

＝|x－3|+|3x－1|，

所以，當x＝1+3時，

原式＝3－x+3x－1＝2x－2＝23；

當x＝1－3時，

原式＝3－x+1－3x=4（1－x）=43.

點評 本題由于x有兩個值，故代入根式運算時必須分類討論，同時還需注意根式的非負性.

7 利用二次根式的非負性

利用被開方數的非負性，有時可以夾逼出未知數的值，看似有無數解的方程，其實只有1解或幾解.

例7 已知x，y為實數，

y＝x2－9+9－x2x+3+2，

求代數式2x－4y+11的值.

解析 因為x、y為實數，

y＝x2－9+9－x2x+3+1，

所以有x2-9≥09-x2≥0x+3≠0，

解得x＝3，

所以y＝2.

當x＝3，y＝2時，

2x－4y+11=2×3－4×2+11=3.

點評 這類求值問題看似x，y未知，但利用二次根式的非負性，就可求出它們的值.

8 結語

從以上七種方法可以看出，求解二次根式型代數式問題，關鍵是學會變形，利用根式運算，利用分式性質，將已知條件等價變形，同時將所求代數式化簡或變形成滿足已知條件的形式，這類問題沒有統一的解題模式，只有分析題目特征，才可“對癥下藥”.

參考文獻：

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