數學思想方法在初中數學解題中的運用

【摘要】在初中階段，學生開始接觸更加抽象和復雜的數學概念，這對于他們的數學思維能力和解題能力提出了挑戰.數學思想方法是指在解決數學問題時所運用的思維方式和策略.通過研究數學思想方法在初中數學解題中的應用，可以深入了解學生在解題過程中的思維模式和策略選擇，從而幫助他們更好地理解數學知識，提高解題效率和準確性.

【關鍵詞】數學思想；初中數學；解題方法

研究數學思想方法在初中數學解題中的應用可以為教學實踐提供重要參考，教師可以根據研究成果調整教學方法，引導學生培養正確的數學思維方式，從而提升他們的數學學習成績和解題能力[1].

1 數形結合思想

數形結合思想是指將數學中的抽象概念與幾何圖形相結合，通過圖形直觀地展示數學問題，從而幫助學生更好地理解和解決問題[2].這種方法可以激發學生的想象力和創造力，使數學問題更具有趣味性和可視化特點[3].

例1 汽車鳴笛以后以15m/s的速度向遠離高山的方向駛去，司機在鳴笛2s以后聽到了鳴笛的回聲，此時汽車到高山的距離有多遠？

解 假設汽車鳴笛時的位置為點B，高山的位置為點A，汽車行駛的終點為點C.汽車行駛的路線是BC，聲音傳播的路線是BA和AC.

汽車行駛的速度為15m/s，行駛了2秒，因此汽車行駛的距離BC=15×2=30m，

聲音傳播的距離為從B到A的距離和從A到C的距離之和，

即BA+AC=BA+AB+BC=340×2=680m，

因為BC=30m，

所以AB=（680－30）÷2=325m，

所以AC=AB+BC=325+30=355m.

因此，汽車到高山的距離為355m.

2 化歸轉化思想

化歸轉化思想是指將復雜的數學問題轉化為簡單的形式，通過適當的變換和化簡，使問題更易于理解和解決.這種思想要求學生具備靈活的思維和良好的邏輯推理能力，能夠將問題分解為更小的部分并找到解決方案.

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC為18cm，AB為24cm，BC為30cm，點P、點Q同時從點C出發，點P以2cm/s的速度沿C→B→A的方向移動，點Q以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移動，當點P到達點A或者點Q到達點B時，P，Q兩點都停止運動，用t（s）表示移動時間.

（1）若點Q在邊AC上時，請用含t的代數式表示線段AQ的長度；

（2）當t為何值時，△BCQ的面積為180cm2？

解 （1）當點P到達點A或者點Q到達點B時，兩點停止運動.根據題目給出的條件，我們可以推導出點P和點Q到達終點的時間范圍0≤t≤27.

若點Q在邊AC上時，我們需要用含t的代數式表示線段AQ的長度.根據題意，當0≤t≤18時，點Q在邊AC上，因此線段AQ的長度為18－t.

（2）當△BCQ的面積為180cm2時，需要找到t的取值.

①如圖3，當0≤t≤18時，點Q在AC上，此時△BCQ的面積為12×t×24=180，解得t=15.

②如圖4，當18<t≤27時，點Q在AB上，此時AQ=t－AC=t－18，BQ=AB－AQ=24－（t－18）=42－t.

此時△BCQ的面積為12×（42－t）×18=180，解得t=22.

綜上所述，當t=15或22時，△BCQ的面積為180cm2.這種題目需要通過分析點的運動軌跡、計算面積等方法來求解，同時需要考慮速度、距離和時間的關系.

3 函數思想

函數思想是指將數學問題中的變量和關系抽象為函數的形式，利用函數的性質和圖象分析來解決問題.函數思想在數學中具有重要的地位，能夠幫助學生建立數學模型，預測結果并進行推理.

例3 表1是中國電信推出的兩種移動電話計費方式，請說明選擇哪種計費方式更省錢？

解這道題目涉及比較兩種移動電話計費方式的省錢情況，需要通過建立函數模型來分析.

方式A月租費30元，通話費0.3元每分鐘；方式B月租費0元，通話費0.4元每分鐘.設通話時間為x分鐘，每月的電話費為y元.根據題目給出的信息，我們可以建立兩種計費方式的電話費用表達式：

方式A的電話費用為y1=0.3x+30元；

方式B的電話費用為y2=0.4x元.

根據題目的設計意圖，我們可以通過比較兩種方式的電話費用來選擇更省錢的方式：

當0≤x<300時，y1>y2，選擇方式B更省錢；

當x=300時，y1=y2，兩種方式一樣；

當x>300時，y1<y2，選擇方式A更省錢.

通過建立函數模型、比較函數值大小以及對通話時間的分類討論，可以幫助人們選擇更省錢的移動電話計費方式.這種問題的解決方法體現了函數模型思想，引導學生在實際問題中應用數學方法進行分析和選擇.

4 結語

綜上所述，研究數學思想方法在初中數學解題中的應用具有重要的理論和實踐意義，有助于促進學生數學思維能力的發展，提高他們的數學學習水平，推動數學教育的發展.

參考文獻：

[1]徐巖.特殊與一般思想在初中數學解題中的應用[J].中學數學，2023（24）：51-52.

[2]張丹丹.數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].數學之友，2022，36（11）：55-57.

[3]包慶華.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用[J].數學學習與研究，2023（31）：113-115.