含參數的一元一次不等式（組）的解法探討

【摘要】 本文通過詳細的分析和實例講解，闡述處理含參數的一元一次不等式（組）問題的方法和關鍵要點．重點關注參數對不等式解集的影響，以及如何根據條件確定參數的取值范圍，為解決相關數學問題提供系統的思路和方法．

【關鍵詞】參數；一元一次不等式組；解題方法

在數學教學中，一元一次不等式（組）是基礎且重要的內容．而含參數的一元一次不等式（組）則增加了問題的復雜性和靈活性，需要更深入地理解不等式的性質和運算規則，以準確求解參數的取值范圍，從而得出不等式（組）的解集．

1 根據一個參數條件求解另一個參數最值

例1 若滿足不等式815<nn+k<713的整數k只有一個，則正整數n的最大值為（ ）

（A）100． （B）112．

（C）120． （D）150．

解析 由已知不等式得815<nn+k<713，67<kn<78，6n7<k<7n8．因由已知條件，6n7與7n8之間只有唯一一個整數k，所以7n8-6n7≤2解得n≤112．當n=112時，96≤k≤98，存在唯一k=97，所以n的最大值為112．故應選（B）．

點評 根據不等式的性質將不等式變形，根據k只有一個的條件求解n的范圍，進而得到n的最值．解決含參數的一元一次不等式（組）的步驟是：將不等式中的參數視為常數，按照解一元一次不等式的常規方法進行變形求解，然后根據已知條件或不等式的解集，分析參數對解集的影響．

2 根據不等式組的整數解情況探討參數情況

例2 如果不等式組9x－a≥08x－b<0的整數解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的有序整數對a，b共有（ ）

（A）17個． （B）64個．

（C）72個． （D）81個．

解析 因x≤a9x<b8中x的整數值僅為1，2，3，所以即0<a≤9，24<b≤32，故a可取1，2，…，9這9個值，b可取25，26，…，32這8個值，所以有序對a，b有8×9=72個．故選（C）．

點評 本題中，知道不等式組的整數解，進而列出含參數的不等式，分別確定各參數的值即可得到有序對的個數．

3 根據不等式組的整數解求解參數范圍

例3 已知m，n與代數式am－bn+1的值的對應關系如表1．

（1）根據表中信息，求a，b的值；

（2）若關于x的不等式組ax－b·x－3<83a－b·－2x+1&lt;t

有且只有一個整數解，求t的取值范圍．

解析 （1）依據表1中數據可得：

3a－b+1=44a+b+1=12，

解得：a=2b=3．

（2）由（1）得：

2x－3x－3<83×2－3×－2x+1<t，

解不等式2x－3x－3<8，

得x>1，

解不等式3×2－3×－2x+1<t，

得：x<t－76，

由不等式組有且只有一個整數解，

得2<t-76≤3，

解得：19<t≤25．

點評 本題考查了解二元一次方程組、一元一次不等式組，以及根據不等式組的解的情況求參，解題的關鍵是正確求解方程組和不等式組，理解不等式組解的情況．第（2）問中，分別求解不等式，結合不等式組的解的情況得到關于t的不等式，求解即可．

4 絕對值不等式中參數最值的求解

例4 若不等式2x－1+3x－3<a有解，則實數a的最小值是 .

解析 ①當x<1時，x－1<0，x－3<0，

2x－1+3x－3=－2x－1－3x－3=－5x+11<a，

解得x>11－a5，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以11－a5<1，

解得a>6.

②當1≤x≤3時，

x-1≥0，x-3≤0，

2x－1+3x－3=2x－1－3x－3=－x+7<a，

解得x>7－a，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以7-a≤3，

解得a≥4.

③當x>3時，

x－1>0，x－3>0，

2x－1+3x－3=2x－1+3x－3=5x－11<a，

解得x<11+a5，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以11+a5>3，

解得a>4.

綜上所述，若不等式2x－1+3x－3<a有解，則a≤4，即實數a的最小值是4．

點評 本題考查絕對值的代數意義以及含參數不等式的解法，根據代數意義去絕對值，分類討論求解即可得到答案．當然，熟練掌握利用絕對值的代數意義去絕對值是解決問題的關鍵．

5 結語

含參數的一元一次不等式（組）是數學中的重要內容，通過對其解法的深入探討，掌握處理這類問題的基本方法和關鍵技巧．在解題過程中，需要充分運用不等式的性質，仔細分析參數對解集的影響，靈活確定參數的取值范圍．通過不斷地練習和總結，能夠提高學生解決這類問題的能力，為進一步學習數學知識和解決實際問題奠定堅實的基礎．

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