例談二次函數解析式的求解方法

【摘要】本文通過實例探討二次函數解析式的求解方法，包括一般式法、頂點式法、兩根式法、平移變換法、對稱變換法等．通過具體的實例，展示這些方法的應用和優缺點，以便讀者更好地理解和掌握二次函數解析式的求解．

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題方法

二次函數是數學中一個重要的概念，它在許多實際問題中都有廣泛的應用．求解二次函數解析式是數學學習中的一個重要內容，也是解決許多實際問題的關鍵．本文將通過實例，詳細介紹二次函數解析式的求解方法．

1 一般式法求二次函數解析式

例1 一個二次函數，當x＝0時，y＝-5；當x＝-1時，y＝-4；當x＝-2時，y＝5，則這個二次函數的關系式是（ ）

（A）y＝4x2+3x-5．

（B）y＝2x2+x+5．

（C）y＝2x2-x+5．

（D）y＝2x2+x-5．

解析 設二次函數的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），

因為當x＝0時，y＝-5；

當x＝-1時，y＝-4；

當x＝-2時，y＝5，

所以 c＝-5①，

a-b+c＝-4②，

4a-2b+c＝5③，

解由①②③組成的方程組得，

a＝4，b＝3，c＝-5，

所以二次函數的關系式為：y＝4x2+3x-5．

故選（A）．

點評 本題運用了一般式法求解二次函數的解析式．先設二次函數解析式的一般式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．

2 頂點式法求二次函數解析式

例2 某拋物線和拋物線y=－2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點坐標是－1，3，則該拋物線的解析式為（ ）

（A）y=－2x2+4x+1．

（B）y=－2x2－4x+1．

（C）y=－4x2－4x+2．

（D）y=－4x2+4x+2．

解析 根據二次函數頂點式y=ax+h2+b，對應可得拋物線的解析式為y=－2x+12+3=－2x2－4x+1．

故選（B）．

點評 本題主要考查了運用頂點式法求二次函數的表達式，解題的關鍵是能夠根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式來求解．直接利用頂點式寫出拋物線的解析式，即可得出答案．

3 兩根式法求二次函數解析式

例3 如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A1，0，B3，0，與y軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點Mx1，y1，Nx2，y2是拋物線上不同的兩點且x1+x2=6x1－x2，求y1－y2的最小值．

解析 （1）設拋物線的表達式為：

y=ax－x1x－x2，

由題意可得：x1=1，x2=3，

所以y=ax－1x－3=a（x2－4x+3），

所以3a=3，

解得a=1，

故拋物線的表達式為y=x2－4x+3.

（2）由拋物線的表達式知，拋物線的對稱軸為直線x=2，

①若點M、N關于拋物線對稱軸對稱，

則y1=y2，

所以y1－y2=0，

②y1－y2=x21－4x1+3－x22－4x2+3

=x1+x2x1－x2－4x1－x2，

因為x1+x2=6x1－x2，

所以y1－y2=x1+x2（x1－x2）－4（x1－x2）

=6x1－x2x1－x2－4x1－x2

=6x1－x2－132－23≥－23，

即y1－y2的最小值為－23．

點評 本題給出了拋物線與坐標軸的兩個交點坐標A1，0和B3，0，可設拋物線的解析式為y=ax－x1x－x2，再結合題設條件求解函數解析式；第（2）問中，y1－y2=x1+x2x1－x2－4x1－x2，x1+x2=6x1－x2，得到y1－y2的函數表達式，即可求出結果．

4 平移變換法求二次函數解析式

例4 在平面直角坐標系中，拋物線C2是由拋物線C1沿x軸平移得到的，它們的交點坐標為（-1，a），若拋物線C1的表達式為y=mx2－6mx+n（m≠0），則拋物線C2的頂點坐標為（ ）

（A）（-4，n-9m）．

（B）（-4，9m-n）．

（C）（-5，n-9m）．

（D）（-5，9m-n）．

解析 因為y=mx2－6mx+n（m≠0），

所以y=mx－32+n－9m，

因為拋物線C1的頂點坐標為（3，n-9m），

因為（-1，a）在拋物線C1的圖象上，

所以a=m－1－32+n－9m，

解得a=7m+n，

因為拋物線C2是由拋物線C1沿x軸平移得到的，

所以設拋物線C2的解析式為

y=mx－k2+n－9m，

因為（-1，a）也在拋物線C2的圖象上，

所以a=m－1－k2+n－9m，

所以7m+n=m－1－k2+n－9m，

因為m≠0，

所以解得k=3或－5，

所以拋物線C2的頂點坐標為（-5，n-9m）或（3，n-9m）（點C1，舍去），

故選（C）．

點評 本題考查了拋物線的平移規律，根據平移規律設出平移后拋物線的解析式是解題的關鍵．先把拋物線C1的表達式化為頂點式，得到頂點坐標，然后代入交點坐標求得a的值，根據平移規律設拋物線C2的表達式，再代入交點坐標即可求解．

5 對稱變換法求二次函數解析式

例5 我們定義：二次項系數之和為1，圖像都經過原點且對稱軸相同的兩個二次函數稱作互為友好函數，求y=2x2+4x的友好函數的解析式．

解析 函數y=2x2+4x的對稱軸為x=－1，

設y=2x2+4x的友好函數是y=ax2+bx，

所以2+a=1－b2a=－1，

所以a=－1b=－2，

所以y=2x2+4x的友好函數是y=－x2－2x.

點評 本題主要考查了利用對稱變換求二次函數解析式，解題的關鍵是讀懂“友好對稱二次函數”的定義．函數y=2x2+4x的對稱軸為x=－1，設y=2x2+4x的友好函數是y=ax2+bx，根據二次項系數之和為1，圖像都經過原點且對稱軸相同可列出方程組，解方程組即可求出所求解析式．

6 結語

二次函數解析式的求解方法有多種，每種方法都有其適用的條件和優缺點，理解和掌握這些方法對于數學學習和實際問題解決都非常重要．通過具體的例子和解析，可以更好地理解和掌握這些方法的應用和優缺點．

參考文獻：

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