培養應變能力，提升數學素養

【摘要】在數學解題中，學生的應變能力至關重要．學生遇到題目的條件和形式發生變化時，就會束手無策.本文以不同學生對一道中考題的不同表現，分析學生的考場心理，提出培養應變能力的方法與措施，以提升學生的數學思維品質和數學核心素養．

【關鍵詞】應變能力；初中數學；解題技巧

數學中的應變能力又稱數學機智，需要學生在新知識面前能迅速產生思維效應，在解決問題時能善于觀察分析，剖析題目的結構特征，產生解決問題的比較簡捷的思路與方法.2023年廣東省中考數學試題第22題，打破以往的命題套路，去模型化，著重考查學生的應變能力.本文借此題談學生數學應變能力的培養建議.

1 試題呈現

試題 如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′.

（1）求證：AA′⊥CA′.

（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．

①如圖2，⊙O與CD相切，求證AA′＝3CA′；

②如圖3，⊙O與CA′相切，AD=1，求⊙O的面積．

2 試題特點

該題是以矩形為背景的一道幾何綜合題，融入了軸對稱和圓的相關知識，一題三問，基礎與能力相容，逐步升華．考查初中數學的基本知識：軸對稱、矩形、中位線的判定與性質、三角形全等、三角形相似、特殊角的三角函數值、多點共圓、直角三角形的判定、勾股定理.考查了基本的數學思想：方程思想、化歸思想.試題源于教材，高于教材，需要學生有扎實的數學基礎與解題能力，考查學生的“四基”掌握情況，考查學生的應變能力與創新意識.

3 解法簡析

第（1）問：

法1 因為ABCD為矩形，

所以OA＝OC，由點的對稱的性質得EA＝EA′，AA′⊥BD，

所以OE為△AA′C的中位線，

所以OE∥A′C，

所以∠AA′C＝∠AEO＝90°，

所以AA′⊥A′C.

法2 如圖4，連接A′O，利用對稱的性質和矩形的性質證A′O＝OA＝OC，

所以點A′在以O為圓心，OA為半徑的圓上，AC為直徑，

所以∠AA′C＝90°，

所以AA′⊥A′C.

第（2）問①：

法1 如圖5，過點O作OH⊥AB，垂足為點H，過點O作OF⊥CD，垂足為點F，證Rt△OHA≌Rt△OFC，得到OH＝OF，再證∠OAE＝∠OAB＝∠OCF，利用矩形的性質和三角形內角和定理得到∠OAE＝30°，利用銳角三角函數得到AA′＝3A′C.

法2 如圖5，過點O作OF⊥CD，垂足為點F，延長FO與AB交于點H，證明AB為⊙O的切線，后面證法與法1相同.

第（2）問②：

法1 如圖6，過點O作OH⊥CA′，垂足為點H，證Rt△OEA≌Rt△OHC，得到∠OAE＝∠OCH，得到∠CAA′＝45°，設OE＝x，在Rt△DAE中，AE2＋DE2＝AD2，即x2＋（2－x）2＝12，解得x2＝2+24，圓的面積為2+24π.

法2 如圖6，令⊙O與CA′相切于點H，連接OH，證Rt△OEA≌Rt△OHC，得到∠OAE＝∠OCH，得到∠CAA′＝45°，設OE＝x，在Rt△DAE中，AE2＋DE2＝AD2，即x2＋（2－x）2＝12，解得x2＝2+24，圓的面積為2+24π.

4 應變能力培養建議

4.1 夯實“四基”，發展“四能”，以“不變”應“萬變”

“四基”與“四能”支撐數學教學的運行機制，每一節課的運行過程大體是這樣的：以真實世界中的問題情境為基礎，沿著由“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”架構的教學路徑，逐步前行，在整個過程中，積累一些具體的知識、技能，衍生出一些一般性的想法（基本思想）和體驗（基本活動經驗）.

“四基”“四能”可以說是落實學生核心素養的根基，是學生應變能力形成的基礎，學生的核心素養得到提升，才能用“不變”的知識和能力應對“變化萬千”的現實世界.

4.2 注重變式教學，以“不變”應“萬變”

4.2.1 把握概念教學，對比概念之間的變化與聯系

對數學應變能力的培養，可狠抓概念教學，促使學生理解透概念的本質，能夠辨析不同概念之間的關聯，會對概念進行對比教學，把握概念之間的變與不變，弄清知識結構發生變化的依據.

例如 初中階段學過的基本函數有：一次函數、二次函數、反比例函數，每一類函數是以結構特征來表述其概念的，那么各函數概念的本質區別是什么，研究函數的共同思路是什么，在這些共性中又有哪些變化，都需要帶領學生去明辨，只有把握好概念教學的本質，形成知識脈絡，建構知識體系，學生才能把握“變”與“不變”，提升自己的應變能力.

4.2.2 掌握公式的活用、逆用、變用

數學公式是數學學習的靈魂，它將現實世界中的各個變量緊密地結合在一起，用符號對知識進行概括，通過公式可以讓我們看到知識的基本規律.但部分學生對數學公式的學習只是停留在對公式的簡單記憶上，死記硬背套用公式的現象比比皆是，容易出現公式記錯，運用不夠靈活，逆向思維不足等問題.

例如 學生在學習同底數冪的乘法運算時，對公式am·an＝am＋n只會直接套用，但是當公式中的字母a變成一個多項式，或者將公式進行逆向運用時，這些死記硬背公式的學生將錯誤百出.因此，教師在進行公式教學時應注重公式的推導、變形和逆用，以培養學生的發散思維和應變能力.

4.2.3 開展變式教學，提升思維能力

學生容易出現思維定勢的主要原因是解題策略的單一性.因此，教師在開展解題教學時，應注重變式教學，拓寬學生的視野，培養學生的發散思維和聚合思維.變式教學主要體現在教學時應一題多解、多題歸一、一題多變.一題多解可以幫助學生多角度運用知識點，將各個知識點融會貫通，經過對一道題的反復思考、反復剖析，提升學生的發散思維；多題一解可以將同類型的題目進行對比、分析，引導學生找到解題的規律，促使學生積極思考，在“變”中發現規律，總結方法，多題歸一，培養學生的聚合思維；一題多變可以變條件、變結論，培養學生的敏捷性和思維品質，做好了變式教學，可以推動學生以“不變”的解題能力應對題目的“變化無常”，促進解題能力提升.

5 結語

總之，學生應變能力的培養是一個長期積累的過程，需要教師傾注自己的教育教學精力，樹立遠大的教育教學情懷，不斷地優化教學設計，培養出具有創新能力且能與時俱進的人才.