整體代換思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

【摘要】隨著教育改革的深入，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力已成為我國基礎(chǔ)教育的重要目標之一.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用整體代換思維解決實際問題，既符合新時代教育的要求，也有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.整體代換思維作為一種實用的解題方法，可以幫助學(xué)生快速找到問題的本質(zhì)，避免陷入繁瑣的計算.教師在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運用整體代換思維，以期為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ).本文將探討整體代換思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；整體代換；解題技巧

1 引言

在初中數(shù)學(xué)解題中，整體代換思維是一種非常實用的技巧，通過整體代換思維，學(xué)生可以更好地理解問題，更快地找到解題方法，從而提高解題效率.同時，整體代換思維也有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的整體代換思維，讓學(xué)生在解題中更好地運用這種技巧.筆者以一道幾乎無法直接計算的經(jīng)典例題，探討整體代換思想的必要性和便利性.然而在初中數(shù)學(xué)中，往往很多可以直接計算的題目，也可以使用整體思維進行代換求解.

2 整體代換思維概述

整體代換思維是一種獨特的思考方式，其核心在于將復(fù)雜問題中的某個部分或整體視為一個可以整體替換或操作的單元.這種思維方式突破了傳統(tǒng)思維中逐一分析細節(jié)的局限，使得學(xué)生能夠以更加宏觀和全局的視角來看待和解決問題.在實際應(yīng)用中，整體代換思維鼓勵我們首先識別出問題的核心結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵要素.通過對這些要素進行深入分析，可以找到一個與之相匹配的新整體，來替代原有部分或整體，從而簡化問題處理過程.這種思維方式不僅提高了解決問題的效率，還促進了創(chuàng)新思維的發(fā)展，因為學(xué)生需要不斷尋找和構(gòu)建新的整體來適應(yīng)不同的情境和問題.此外，整體代換思維還強調(diào)了對整體與部分之間關(guān)系的理解.它讓學(xué)生意識到，在某些情況下，整體的功能和性質(zhì)并非簡單地由其各個部分相加而成，而是由整體結(jié)構(gòu)本身所決定.因此，學(xué)生在解決問題時，需要關(guān)注整體的結(jié)構(gòu)和特性，以更加全面和深入地理解問題.

3 試題呈現(xiàn)

已知拋物線y=x2+2a+1x+2a+54的頂點在x軸上.

（1）求a的值；

（2）求

a8+a6－a5+a4－2a3－2a2a16+a12+a8－a7－a6+2a4－a3+2a2－3a－2的值.

4 思路分析

本題第一問較為簡單，通過題目所給條件，可判定該拋物線方程判別式為0，即方程有兩個相等的實數(shù)根，從而可求出a的值；然而第二問中，最高出現(xiàn)了a8，理論上來講，很難通過直接求解的方法進行解題，即使a為整數(shù)，也不便于求解，而通過第一問的分析，出現(xiàn)判別式，最終a的解大概率帶著根號，因此，直接求解更加不可能.因此，可由（1）得a相關(guān)的表達式，然后通過變形，整理出與（2）中相關(guān)的等式，進行整體代入求解.

5 解題探究

（1）因為y=x2+2a+1x+2a+54的頂點在x軸上，所以方程x2+2a+1x+2a+54=0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=（2a+1）2－42a+54=0，所以a2－a－1=0，解得a1=1+52，a2=1－52.

（2）因為a2－a－1=0，a≠0，所以a－1a=1，根據(jù)完全平方式，有a4+1a4=a－1a2+22－2=7，因此a8+1a8=a4+1a42－2=47.

所以a8+a6－a5+a4－2a3－2a2a16+a12+a8－a7－a6+2a4－a3+2a2－3a－2.

=a8+a4a2－a－1+2a2a2－a－1a16+a12+a6a2－a－1+a2a2－a－1+a4+3a2－a－1+1.

=a8a16+a12+a4+1.

=1a8+a4+1a4+1a8.

=154.

6 解后反思

本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、代數(shù)式求值等知識點，整體代換思維是解答本題的關(guān)鍵.第（2）問中得到正確答案的過程并不是先直接求出a4+1a4與a8+1a8的值，而是先通過題目的設(shè)問進行整理，首先討論是否有a2－a－1或者a2－a類似代數(shù)式的出現(xiàn)，如出現(xiàn)上述代數(shù)式，則進行整體代換，簡化過程.然后再對簡化后的式子進行觀察整理，倒推出需要求解的代數(shù)式為a4+1a4與a8+1a8，在求解這兩個代數(shù)式的過程中，同樣需要進行整體代換.

綜上所述，整體代換思維在初中數(shù)學(xué)解題中具有極高的應(yīng)用價值.通過運用整體代換思維，學(xué)生可以更快地找到解題方法，提高解題效率.同時，這種思維方式也有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，教師應(yīng)在教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生運用整體代換思維，讓學(xué)生在解題過程中更好地把握問題本質(zhì)，從而為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]程小芹.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 [J]. 語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版）， 2020（04）： 28-29.

[2]顧志明.妙用數(shù)學(xué)思維，巧解數(shù)學(xué)難題 [J]. 數(shù)理化解題研究， 2016（08）： 29-30.

[3]葉印紅.整體求解方法在初中數(shù)學(xué)解題中的探討 [J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）， 2015（12）： 4-5.