一道創(chuàng)新中考題的解答與啟示

【摘要】21世紀(jì)世界各國(guó)科技的競(jìng)爭(zhēng)是創(chuàng)新人才的競(jìng)爭(zhēng).因此，一般試題的命題強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能、基本方法、基本經(jīng)驗(yàn)的考查，同時(shí)注重對(duì)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新素養(yǎng)、創(chuàng)新能力的考查.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們要對(duì)典型的創(chuàng)新試題進(jìn)行分析與解答，幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解、方法的掌握與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；創(chuàng)新試題；解題技巧

1 試題呈現(xiàn)

（2024·湖南中考模擬）已知x為自變量，y是x的函數(shù)，規(guī)定：在t－12≤x≤t+12范圍內(nèi)，y有最小值是N，最大值是M，令函數(shù)h=M－N2，函數(shù)h叫做y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.

（1）如果y為一次函數(shù)，即y=kx+b（k≠0），請(qǐng)求出y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”h的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果y為反比例函數(shù)，即y=2x（x≥1），請(qǐng)求出y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”h的最大值；

（3）如果y為二次函數(shù)，即y=－x2+4x+k，請(qǐng)說明是否存在實(shí)數(shù)k，使得y的最大值等于y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”h的最小值.若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2 試題解析

解 （1）因?yàn)閥=kx+b（k≠0），其性質(zhì)與k的正負(fù)有關(guān)，因此要對(duì)k的符號(hào)進(jìn)行分類討論.

對(duì)于函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k＞0時(shí)，顯然在t－12≤x≤t+12范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，有最值，

所以M=kt+12+b，

N=kt－12+b，

所以h=M－N2=k2.

當(dāng)k＜0時(shí)，同理有M=kt－12+b，

N=kt+12+b，

所以h=M－N2=－k2.

綜上，當(dāng)k＞0時(shí)，h=k2；

當(dāng)k＜0時(shí)，h=－k2.

（2）對(duì)于反比例函數(shù)y=2x（x≥1），

因?yàn)?＞0，x≥1，函數(shù)在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，所以t－12≥1，

解得t≥32，

當(dāng)t－12≤x≤t+12時(shí)，

所以M=2t－12=42t－1，

N=2t+12=42t+1，

所以h=M-N2=1242t-1-42t+1

=22t+1-22t-12t-12t+1

=42t-12t+1

=44t2-1.

因?yàn)楫?dāng)t≥32時(shí)，4t2－1隨t的增大而增大，

所以當(dāng)t=32時(shí)，4t2－1取得最小值，此時(shí)h取得最大值，

最大值為h=4（2t-1）（2t+1）=42×4=12.

（3）對(duì)于函數(shù)y=－x2+4x+k=－（x－2）2+4+k，

a=－1＜0，拋物線開口向下，

當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小；

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y的最大值為4+k.

在t－12≤x≤t+12時(shí)，

①當(dāng)t+12＜2時(shí)，即t＜32時(shí)，

N=－t－122+4t－12+k，

M=－t+122+4t+12+k，

所以h=M-N2

=12-t+122+4t+12+k-

-t-122+4t-12+k=2-t，

所以h的最小值為12（當(dāng)t=32時(shí)），

若12=4+k，解得k=－72，但t＜32，

故k=－72不合題意，故舍去.

②當(dāng)t－12＞2時(shí)，即t＞52時(shí)，

M=－t－122+4t－12+k，

N=－t+122+4t+12+k，

所以h=M－N2=t－2，

所以h的最小值為12（當(dāng)t=52時(shí)），

若12=4+k，解得k=－72，但t＞52，

故k=－72不合題意，故舍去.

③當(dāng)t－12≤x≤t+12時(shí)，即32≤t≤52時(shí)，

M=4+k.

a.當(dāng)2－t－12≥t+12－2時(shí)，

即32≤t≤2時(shí)，

N=－t－122+4t－12+k，

h=M－N2

=4+k+（t－12）2－4（t－12）－k2

=12t2－52t+258，

因?yàn)閷?duì)稱軸為t=52，12＞0，拋物線開口向上，

在32≤t≤2上，當(dāng)t=2時(shí)，h有最小值18，

所以18=4+k，解得k=－318.

b.當(dāng)2－t－12≤t+12－2時(shí)，

即2≤t≤52時(shí)，M=4+k.

N=－t+122+4t+12+k，

h=M－N2=12t2－32t+98，

因?yàn)閷?duì)稱軸為t=32，12＞0，拋物線開口向上，

在2≤t≤52上，當(dāng)t=2時(shí)，h有最小值18，

所以18=4+k，

解得k=－318.

綜上，當(dāng)t=2時(shí)，存在k=－318.

3 結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)中，教師要重視知識(shí)的形成過程，在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，通過實(shí)際問題幫助學(xué)生理解概念，掌握函數(shù)的增減性及最值等相關(guān)性質(zhì)，教會(huì)學(xué)生如何結(jié)合圖象分析函數(shù)的最大（小）值，在理解的基礎(chǔ)上記憶，在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用，從而掌握知識(shí)的本質(zhì)，無論是在新概念題型還是其他題型中，學(xué)生都能靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的.