初中數學解題方法和技巧研究

【摘要】 二次函數作為初中數學的一個重要組成部分，不僅在函數與方程的知識體系中具有核心地位，更在解決各類實際問題中發揮著重要作用.因此，理解和掌握二次函數的解題方法和技巧，對提高學生數學能力和解題水平至關重要.本文主要圍繞初中數學中的二次函數解析式，探討和分析多種解題方法和技巧.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題方法

初中數學作為一門重要的基礎學科，不僅涵蓋了數學的基本概念和原理，還為學生提供了豐富的解題方法和技巧.其中，二次函數作為初中數學的重要內容之一，其解析式的求解更是考查學生數學能力的重要方面.本文將以二次函數解析式為例，探討初中數學解題方法與技巧，以此為學生提供有效的學習指導.

1 二次函數解析式概述

二次函數是形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數，其中a，b，c為常數，且a不等于0.二次函數的解析式求解是初中數學的重要知識點，也是中考數學的常見題型.通過求解二次函數的解析式，可以幫助學生更好地理解和掌握二次函數的性質和應用.

2 二次函數解析式的求解方法

2.1 一般式法

一般式法是最常見的求解二次函數解析式的方法.當題目給出拋物線上任意三個點的坐標時，可以設一般式y=ax2+bx+c（a≠0），然后將這三個點的坐標代入方程，求出a，b，c的值，從而得到二次函數的解析式.

例1 已知二次函數圖象經過A（2，－4），B（0，2），C（－1，2）三點，求這個二次函數的解析式.

解析 設二次函數解析式為y=ax2+bx+c，

因為B（0，2）在函數圖象上，

所以c=2，

所以y=ax2+bx+2.

因為A（2，－4），C（－1，2）兩點在函數圖象上，

所以－4=4a+2b+2，2=a－b+2，

解得a=－1，b=－1，

所以函數的解析式為：y=－x2－x+2.

2.2 頂點式法

當題目給出拋物線的頂點坐標或對稱軸時，可以采用頂點式法求解二次函數的解析式.頂點式y=a（x－h）2+k（a≠0）中，（h，k）為拋物線的頂點坐標.已知頂點坐標（h，k）或最值k，對稱軸方程x=h后，只需要再代入一個點的坐標求出a的值即可.

例2 已知一個二次函數的圖象經過點（4，－3），且當x=3時有最大值4，試求出這個二次函數的解析式.

解析 此例題可采用待定系數法中的一般式法和頂點式法兩種方法進行解題，因知曉其最值，將采用頂點式法進行解答.

設二次函數解析式為y=a（x－h）2+k（a≠0），

因為當x=3時，y取最大值4，所以頂點坐標為（3，4），

所以h=3，k=4，

所以二次函數解析式為：y=a（x－3）2+4，

即a（4－3）2+4=－3，得出a=－7，

所以y=－7（x－3）2+4=－7x2+42x－59，

故二次函數的解析式為y=－7x2+42x－59.

2.3 交點式法

當題目給出拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標時，可以采用交點式法求解二次函數的解析式.交點式y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）中，x1，x2分別為拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標.已知兩個交點的橫坐標后，只需要再代入一個點的坐標求出a的值即可.

當知道拋物線與x軸的交點坐標、對稱軸方程或頂點的橫坐標時選用交點式解題比較方便.

（1）當Δ=b2－4ac≥0，拋物線與x軸相交，y=ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）.

當Δ=b2－4ac>0，有兩個交點，分別是（x1，0）和（x2，0）；

當Δ=b2－4ac=0，只有一個交點，

即頂點－b2a，4ac－b24a.

（2）當Δ=b2－4ac<0時，方程ax2+bx+c=0無解，二次三項式ax2+bx+c不能分解，拋物線與x軸不相交.

（3）若拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，那么對稱軸方程為：x=x1+x22.

例3 已知拋物線與x軸的交點為（－1，0），（3，0），函數的最大值為4.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）求拋物線的解析式.

解析 （1）依題意，設函數解析式為y=a（x+1）（x－3），

所以y=a（x2－2x－3）=a（x2－2x+1－4）=a（x－1）2－4a，

所以拋物線的對稱軸為x=1.

（2）因為函數的最大值為4，

所以－4a=4，a=－1，

所以拋物線的解析式為y=－（x2－2x－3）=－x2+2x+3.

例4 二次函數圖象經過點（1，4），（－1，0）和（3，0）三點，求該二次函數的解析式.

解析 這一例題將采用以上三種不同解題方法進行解題，以便于加深理解，幫助學生更好地理解與掌握二次函數解析式的解題思路.

解法1 一般式法

設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c，

由題意可知a+b+c=4，a－b+c=0，9a+3b+c=0，

解得a=－1，b=2，c=3，

故此二次函數解析式為y=－x2+2x+3.

解法2 頂點式法

因為拋物線與x軸相交于兩點（－1，0）和（3，0），所以點（1，4）為拋物線的頂點，

由題意設二次函數解析式為y=a（x－h）2+k，

即y=a（x－1）2+4，

因為拋物線過點（－1，0），

所以a=－1，

所以該二次函數的解析式為y=－（x－1）2+4=－x2+2x+3.

解法3 交點式法

由題意可知拋物線與X軸的交點坐標為（-1，0），（3，0）.

設二次函數解析式為y=a（x－x1）（x－x2），

則有y=a（x+1）（x－3），

因為函數圖象過點（1，4），解得a=－1，

所以該二次函數的解析式為y=－（x+1）（x－3）=－x2+2x+3.

3 結語

通過對求解二次函數解析式的方法與技巧的研究，有助于提高學生的解題能力和數學思維能力.同時，本文也可以為初中數學教師提供教學參考和指導，促進初中數學教學的改進和發展，具有一定的實踐意義和應用價值.

參考文獻：

[1]陳琳.初中數學解題方法和技巧研究——以“二次函數解析式”為例[J].現代中學生（初中版），2023（24）：15-16.

[2]鄭子飚.初中數學解題方法和技巧研究——以二次函數解析式為例[J].新課程導學，2023（14）：56-59.