相似三角形的應用與綜合問題探究

【摘要】相似三角形是初中幾何學的重要內容，在實際生活中有著廣泛且重要的應用.通過相似三角形的性質，可以計算不可測量的距離或高度，例如，建筑物的高度、塔的高度等.本文對相似三角形的應用與綜合問題進行研究，歸納解題方法，并舉例進行詳細講解，以期幫助學生對相似三角形的幾何知識掌握得更加透徹.

【關鍵詞】相似三角形；初中數學；解題

1 證明比例式或乘積式

證明比例式或乘積式的基本方法是證明四條線段所在的兩個三角形相似，若不能直接證明所在的三角形相似，則利用等線段或等比例進行轉化.熟練掌握直角三角形中的垂直關系及基本圖形中隱含的公共角等知識，正確推理、靈活變形、準確判斷是解決這類問題的關鍵.

例1 在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與點A、B、C重合）.

（1）如圖1（a），若EF平行于BC，求證：S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC；

（2）如圖1（b），若EF不與BC平行，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由.

解 （1）因為EF平行于BC，

所以△AEF∽△ABC，

所以AEAB=AFAC，

所以S△AEFS△ABC=AE2AB2=AE·AFAB·AC.

（2）若EF不與BC平行，（1）中的結論仍然成立.理由如下：

如圖1（c），分別過點F、C作AB的垂線，垂足分別為N、H.

因為FN⊥AB，CH⊥AB，

所以FN平行于CH，

所以△AFN∽△ACH，

所以FNCH=AFAC，

所以S△AEFS△ABC=AE·FNAB·CH=AE·AFAB·AC.

2 利用相似三角形測量物體高度

一些復雜的實際問題常涉及兩個圖形，并且未知線段過多，此時需要多次運用相似三角形的性質，有時還需要借助方程（組）來求解.

例2 如圖2所示，小明和小紅站在AD和BC兩盞路燈之間，小明站在P處，小紅站在Q處，已知小明和小紅的身高均為1.8m，兩人相距6.5m，燈桿BC高9m，小明在路燈C下的影長為2m，且影子頂部恰好位于路燈D的正下方A點，而小紅在路燈D下的影子頂部恰好位于路燈C的正下方B點.

（1）求小紅在路燈D下的影長；

（2）求燈桿AD的高.

解 （1）因為EP⊥AB，CB⊥AB，

所以∠EPA=∠CBA=90°.

因為∠EAP=∠CAB，

所以△EAP∽△CAB，

所以EPBC=APAB，即1.89=2AB，

所以AB=10，

所以BQ=10－2－6.5=1.5，

故小紅在路燈D下的影長為1.5m.

（2）FQ⊥AB，DA⊥AB，

所以∠FQB=∠DAB=90°.

因為∠FBQ=∠DBA，

所以△BFQ∽△BDA，

所以FQAD=BQAB，即1.8AD=1.510，

所以AD=12，故燈桿AD的高為12m.

3 利用相似三角形測量長度或寬度

測量不能直接到達的兩點間的距離，通常構造相似三角形，利用相似三角形的性質求解.

例3 如圖3所示，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S在同一條直線上且直線PS與河岸垂直，再過點S且與PS垂直的直線上選擇適當的點T，使PT與過點Q且垂直于PS的直線（即近岸所在的直線）交于點R.如果測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ.

解 因為PQ⊥QR，PS⊥ST，

所以∠PQR=∠PST=90°.

又因為∠QPR=∠SPT，

所以△PQR∽△PST，

所以PQPS=QRST.

設PQ=xm，則xx+45=6090，

解得x=90，

所以河的寬度為90m.

4 結語

相似三角形在實際生活中有著廣泛的應用，不僅局限于數學領域，還涉及工程、建筑、地理等多個領域，展示了其在現實生活中的重要性和廣泛性.比如通過相似三角形的性質，我們可以計算建筑物的距離或高度.在解決與相似三角形相關的綜合問題時，通常利用相似三角形的性質，如對應角相等、對應邊成比例等來解決各種問題，比如求邊長、角度、面積等.在解題過程中，要進行細致的推導和縝密邏輯分析，確保答案的準確性.同時通過不斷練習和掌握解題方法，加強對相似三角形知識的理解，解決各種復雜的幾何問題.

參考文獻：

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