初中數學陰影部分面積的求解方法

【摘要】在初中數學中，求解陰影部分面積是一個常見且重要的題型．它不僅考查學生對基本圖形的認識和面積公式的掌握，還要求學生具備靈活運用數學知識、轉化問題和創新思維的能力．本文通過實例詳細探討幾種常見的求解陰影部分面積的方法，包括直接公式法、和差法、割補法，旨在幫助學生掌握解題技巧，提高解題能力．

【關鍵詞】初中數學；陰影面積；解題方法

在初中數學的學習中，圖形面積的計算是一個重要的組成部分．而陰影部分面積的求解問題，因其題型多樣、解法靈活，常常成為學生學習的難點，掌握有效的求解方法，不僅能夠幫助學生提高數學成績，更能培養學生的空間想象力和邏輯思維能力．

1 直接公式法

對于一些規則的圖形，如三角形、矩形、圓形等，其陰影部分面積可以直接利用相應的面積公式進行計算．

例1 如圖1，AB是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（ ）

（A）16π. （B）12π. （C）8π. （D）4π.

解析 如圖2，過點E作EF⊥AB于點F，連接AE、BE.

因為AB是半圓的直徑，

所以∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°.

因為EF⊥AB，

所以∠AFE=∠EFB=90°，

所以∠EAB+∠AEF=90°，

所以∠EBA=∠AEF，△EBF∽△AEF.

所以AFEF=EFBF，即EF2=AF·BF.

設AC=x，

因為EF⊥AB，且由作圖可知陰影部分是兩個半徑相等的半圓.

所以四邊形DCFE是正方形，

所以CD=DE=EF=CF=AC=x，

所以AF=2x，

所以BF=10－2x，

所以x2=2x10－2x，

所以x1=0（舍去），x2=4，

所以S陰影=2×90×π×42360=8π.

故選（C）．

點評 本題考查了相似三角形和求解扇形的面積相關方面的知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質以及扇形的面積公式是解題的關鍵．過點E作EF⊥AB于點F，連接AE、BE，利用相似三角形的性質列方程即可求出AC的值，再利用扇形的面積公式計算即可．

2 和差法

當陰影部分是由幾個基本圖形的和或差組成時，可以將其面積分別計算，然后相加或相減．

例2 如圖3，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是 ．

解析 連接CD，如圖4.

因為以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，

所以CD⊥AB.

因為△ACB為等腰直角三角形，

所以CD=AD=BD=12AB．

因為AB=2AC=2·2=2，

所以CD=1.

所以S陰影=S△ABC－S扇形CEF

=12BC·AC－90π×12360

=12×2×2－π4

=1－π4．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質，圓的切線的性質定理，扇形、三角形的面積等知識點，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．連接CD，利用等腰直角三角形的性質求得扇形的半徑，再利用S陰影=S△ABC－S扇形CEF即可解答．

3 割補法

將不規則的陰影部分通過割補的方式轉化為規則圖形，從而便于計算面積．

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB=1，以點A為圓心，矩形的長AD為半徑畫弧，交BC于點E，交AB的延長線于點F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（ ）

（A）1. （B）π－2－12.

（C）22+π4. （D）2－1.

解析 因為四邊形ABCD為矩形，

所以∠BAD=∠ABC=90°．

因為AE恰好平分∠BAD，

所以∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，

所以AB=BE=1，

所以AE=AB2+BE2=2，

所以S扇形AEF=45π·AE2360=14π.

S△ABE=12AB·BE=12，

所以S陰影BEF=S扇形AEF－S△ABE=π4－12.

由題意可知AD=AE=2，

所以S矩形ABCD=AB·AD=2，

S扇形ADE=45π·AE2360=14π，

所以S陰影DCE=S矩形ABCD－S扇形ADE-S△ABE=2－π4－12，

所以S陰影=S陰影BEF+S陰影DCE=2－1．

故選（D）．

點評 本題考查矩形的性質、角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理、扇形的面積計算等知識．利用數形結合的思想是解題關鍵．

4 結語

綜上所述，求解初中數學中陰影部分的面積問題，需要學生熟練掌握基本圖形的面積公式，靈活運用各種解題方法，并通過大量的練習提高解題能力．在實際解題過程中，要認真觀察圖形的特點，分析陰影部分與已知圖形之間的關系，選擇合適的方法進行求解．同時，要注意計算的準確性，養成良好的解題習慣．相信通過不斷地學習和積累，學生在解決這類問題時會更加得心應手，數學思維能力也會得到進一步的提升．

參考文獻：

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