初中數學幾何證明思路的多樣性探究

【摘要】初中數學幾何證明的精髓，在于其思路的多元與深邃，尤以正向、逆向及二者巧妙融合的思維模式為核.面對基礎題，正向思維如利劍出鞘，直指問題核心，簡潔明了；遭遇復雜難題時，逆向思維則如暗夜明燈，從結論逆向追溯，層層剝繭，往往能開辟解題新徑，豁然開朗.更為精妙的是，將正向構建與逆向拆解相結合，既立足已知，又著眼目標，構建橋梁，成為破解幾何難題的制勝法寶.此等多樣化的解題思路，不僅極大地拓寬了學生的解題視野，更在潛移默化中錘煉了他們的邏輯思維能力與問題解決策略.學生若能深刻領悟并靈活運用這些思維方法，必將在幾何證明的征途中如虎添翼，解題效率與準確度將實現質的飛躍，為數學學習之路鋪就堅實基石.

【關鍵詞】初中數學；幾何證明；解題策略

1 幾何定理思路

幾何圖形的解題思路精髓在于精準運用基本定理，尤其是“兩點之間線段最短”及三角形的三邊關系（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）等核心性質，精準定位并構建出最值情況下的特定幾何形態.這一過程不僅考驗著學生對幾何定理的深刻理解，更要求他們具備將抽象定理與具體問題相結合的靈活應用能力.通過巧妙運用這些定理，能夠高效地解決一系列幾何最值難題，精準求得所需的最值結果.

例1 如圖1，在直角坐標系中，直線y=34x+3分別與 x 軸、y 軸交于點 A 和 B.現有點 M 在該直線上，其橫坐標為 -3.另有點 Q 和 D 在 x 軸上，且 D 在 Q 的右側，滿足 QD=1.求

四邊形 MQDB 的周長最小值.

在四邊形MQDB中，由于MB與QD為定值，故周長最小即求MQ+BD之和最小.通過構造平行四邊形，并利用對稱性質，結合“兩點之間線段最短”原理，可確定MQ與BD的最小位置.隨后，利用勾股定理建立數學表達式進行運算，即可求得MQ+BD的最小值，進而得到四邊形MQDB周長的最小值.

解 因為點M在直線AB上，且橫坐標為-3，

所以MB= 0+32+3-342=154，

因為MB+QD=154+1=194是定值，

所以問題等價于求MQ+BD的最小值，

過點B作QD的平行線，過點Q作BD的平行線，兩點交于點N，作點M關于X軸的對稱點M′，連接M′N，如圖2.

則M′ N是MQ + BD的最小值，

因為M′－3，－34，N－1，3，

所以NM′=－3+12+－34－32

=174，

所以四邊形MQDB周長的最小值為194+174=9.

2 構建函數模型法

構造函數是解決幾何最值問題的一種代數化解題思路，其核心在于根據已知條件和幾何關系，巧妙地構建相應的函數解析式.這一方法將復雜的幾何問題轉化為直觀的函數求最值問題，使得問題得以簡化.在構建函數時，我們常會遇到一次函數、一元二次函數或反比例函數等不同類型的函數，根據具體情況選擇合適的函數形式是關鍵.運用代數運算的解題思路，首先要做的是識別并提取問題中的關鍵變量和等式關系，隨后通過代數變換和推理將這些關系轉化為具體的函數表達式.這一過程不僅要求學生具備扎實的代數基礎，還需要他們具備將幾何直觀與代數抽象相結合的能力.

例2 如圖3，某房地產公司持有一塊特殊形狀的“缺角矩形”荒地ABCDE，需在此地上規劃建造一座長方形且東西走向的公寓，請問如何

設計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.（精確到1m2）

為求解最大地基面積，首先建立直角坐標系，將“缺角矩形”荒地ABCDE轉化為對應的函數圖象.根據公寓需東西走向的條件，面積計算需分三種情況討論.針對每種情況，列出面積與變量間的函數關系式，通過數學方法求解各情況下的最大值.最后，綜合比較三種情況的最大值，確定地基的最大面積，并精確到1m2.這一過程融合了坐標變換、函數建模與極值求解，體現了數學在解決實際問題中的應用.

解 分別以線段BC、AE所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系，

BC、AE為正方向，長度單位為米，如圖4，

可知直線AB的解析式為y=－23x+20.

假設點F分別在EA、AB、BC上運動，

點F為長方形公寓的其中一點，

（1）點F在AB上運動時，

點Fx，20－23x0≤x≤30，

則S=100－x80－20－23x

=－23x2+203x+6000，

=－23xx－52+601623，

當x=5時，y=20－23x503.Smax≈6017m2.

（2）當點F在AE上運動時，點F在點A位置面積有最大值，

Smax=6000m2.

（3）當點F在BC上運動時，點F在點B位置面積有最大值，

Smax=5600m2.

綜上，當點F位于（5，503）時，公寓最大面積為6017m2.

3 結語

綜上所述，在初中數學幾何證明的學習中，探索證明思路的多樣性不僅是深化理解的關鍵，更是培養學生創新思維和問題解決能力的有效途徑.通過多角度審視問題，學生不僅能掌握多種證明方法，如直接證明法、反證法、構造法等，還能學會在復雜圖形中識別基本圖形，靈活運用性質定理.這種多樣性的追求，不僅豐富了解題策略，更讓學生在不斷地嘗試與反思中體驗數學探索的樂趣與成就感.因此，鼓勵學生勇于嘗試不同思路，培養其批判性思維和創造力，對于提升初中數學教學質量、促進學生全面發展具有重要意義.

參考文獻：

[1]張紅琴.“轉化思想”在初中幾何最值問題中的應用[J].數學之友，2021（04）：90-92.

[2]成政榮.初中幾何最值問題解法探究[J].數學教學通訊，2020（11）：42-43.