反比例函數與幾何綜合問題探析

【摘要】反比例函數是中學數學的重要內容之一，與幾何知識的綜合問題具有較高的難度和綜合性．本文通過具體實例進行詳細分析，旨在幫助學生更好地理解和掌握反比例函數與幾何綜合問題的解題思路，提高學生的數學綜合素養和解決問題的能力．

【關鍵詞】反比例函數；初中數學；解題方法

反比例函數與幾何綜合問題不僅考查學生對反比例函數和幾何知識的掌握程度，還考查學生的綜合分析能力、邏輯思維能力和創新能力．因此，深入研究反比例函數與幾何綜合問題具有重要的現實意義．

1 已知反比例函數圖象和三角形面積求解參數

例1 如圖1，點A，B在反比例函數y=1xx＞0的圖象上，點C，D在反比例函數y=kxx＞0的圖象上，AC∥BD∥y軸，已知點A，B的橫坐標分別為1，2，△OAC與△ABD的面積之和為3．求k的值．

解析 如圖2，過點A，B作X軸的垂線，垂足分別為點M，N，因為點A，B在反比例函數y=1xx＞0的圖象上，點A，B的橫坐標分別為1，2，

所以A1，1，B2，12.

因為AC∥BD∥y軸，

所以C1，k，D2，k2，

因為△OAC與△ABD的面積之和為3，

所以S△OAC=S△COM－S△AOM=12×k－12×1×1=k2－12，S△ABD=S梯形AMND－S梯形AMNB=121+k2×1－12×1+12×1=k－14，

所以k2－12+k－14=3，

解得k=5．

點評 本題主要考查反比例函數的性質、k的幾何意義等知識點，用k表示出相關圖形的面積是解題的關鍵．過點A，B作X軸的

垂線，再表示出A、B、C、D四個點的坐標后，將面積進行轉換S△OAC=S△COM－S△AOM，S△ABD=S梯形AMND－S梯形AMNB，進而求解即可．

2 已知反比例函數和長度比值求解參數

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，點C1，0在線段AB上，點A的橫坐標為－1，且ACBC=23．若函數y=－2xx<0和y=kxx>0的圖象分別經過A，B兩點，求點A的坐標和k的值．

解析 如圖4，分別過點A、B作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，則AD∥BE，

所以△ADC∽△BEC，

所以ADBE=CDCE=ACBC=23，

因為點A的橫坐標為－1，

反比例函數y=－2x（x<0）經過點A，

所以點A的坐標為－1，2，

又因為C1，0，

所以AD=2，CD=2，

所以2BE=2CE=23，

得BE=3，CE=3，

所以點B的坐標為4，－3，

因為y=kx（x>0）的圖象經過點B，

所以k=4×－3=－12．

點評 本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質、坐標與圖形等知識點，熟練掌握相似三角形的性質是解答的關鍵．本題中，分別過點A、B作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，則AD∥BE，根據反比例函數圖象的性質即可求出點A的坐標，根據相似三角形的判定與性質以及坐標與圖形求得CE和BE，即可求出點B的坐標．

3 已知反比例函數求解三角形面積

例3 如圖5，在平面直角坐標系中，已知函數y1=6xx>0，y2=－2xx<0， 點 M 在y 軸的正半軸上，點N在x軸上，過點 M作y 軸的垂線分別交函數y1，y2的圖象于A，B兩點，連接AN，BN，則△ABN的面積為 ．

解析 過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為點G，H，如圖6，

因為AB⊥y軸，

所以AB∥x軸，

因為BH⊥x軸，AG⊥x軸，

所以BH∥AG，

所以四邊形BHGA，四邊形BHOM，四邊形MOGA都為矩形，

因為y1=6xx>0，y2=－2xx<0，

所以S矩形BHOM=2，S矩形MOGA=6，

所以S矩形BHGA=S矩形BHOM+S矩形MOGA=8，

所以S△ABN=12S矩形BHGA=4．

點評 本題考查了反比例函數k值的幾何意義及反比例函數與幾何的綜合問題．過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為點G，H，易得四邊形BHGA，四邊形BHOM，四邊形MOGA都為矩形，則S矩形BHOM=2，S矩形MOGA=6，進而得出S矩形BHGA=S矩形BHOM+S矩形MOGA=8，最后根據S△ABN=12S矩形BHGA即可得出問題答案．

4 結語

反比例函數與幾何綜合問題是中學數學中的重要內容，具有較高的難度和綜合性．通過對反比例函數的基本性質、反比例函數與幾何綜合問題的類型、解題方法和策略的分析，可以看出解決這類問題需要學生熟練掌握反比例函數和幾何知識，靈活運用各種解題方法和策略．在教學中，教師應注重培養學生的綜合分析能力、邏輯思維能力和創新能力，引導學生多思考、多總結，提高學生解決反比例函數與幾何綜合問題的能力．

參考文獻：

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