丹德林雙球模型巧解橢圓離心率問題

摘 要：通過結合離心率與截面角的關系，利用丹德林雙球模型得出求解橢圓離心率的方法，并將其應用于各地以丹德林雙球為背景的高考模擬題中，以提高學生的數學核心素養和綜合能力.

關鍵詞：橢圓；離心率；截面角；丹德林雙球模型

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0058-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：肖閩（1998.5—），男，江西省吉安人，碩士研究生，從事數學教學研究.

橢圓的離心率問題是高中數學圓錐曲線的重要內容，涵蓋對橢圓幾何性質及其焦點關系的理解.在近期以丹德林雙球模型為背景的橢圓離心率問題中，學生因缺乏對空間幾何的直觀認識，在使用傳統解析法求解時會遇到困難.因此，本文通過結合離心率與截面角的關系，運用丹德林雙球模型提供一種更“巧妙”的解題思路，并結合例題具體分析.

1 丹德林雙球的定義

如圖1所示，在圓錐內放入兩個球O1，O2，它們均與圓錐的母線相切，切點所形成的兩個圓分別是⊙C1，⊙C2.同時這兩個球都與截面γ相切，切點分別是F1和F2，丹德林（G·Dandelin）利用該模型證明了截面γ與圓錐側面的交線為橢圓，并且F1和F2為該橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.如圖1，設直線F1F2分別與圓錐母線交于A，B兩點，圓錐的母線分別與⊙C1，⊙C2交于C，D兩點，由切線長定理可知BF1=BC，BF2=BD，故BF1+BF2=BC+BD=2a.同理，對于平面α與圓錐側面的交線上任意一點P，過點P的母線分別與⊙C1，⊙C2交于M，Q兩點，則PF1+PF2=MQ=2a. 圖1 丹德林雙球模型"""""" 圖2 截面截圓錐

2 離心率與截面角的關系

如圖2，圓錐O是由l′圍繞l旋轉得到的，我們把l稱為軸，軸與母線所成角為α，用一個平面π去截圓錐，得到的截口曲線取決于平面與圓錐軸l所成的線面角β（當π與l平行時，β=0），具體關系為[1]： （1）若βgt;α，0lt;cosβcosαlt;1，平面π截圓錐面所得截口曲線為橢圓；

（2）若β=α，cosβcosα=1，平面π截圓錐面所得截口曲線為拋物線；

（3）若βlt;α，1lt;cosβcosα，平面π截圓錐面所得截口曲線為雙曲線.

這個比值cosβcosα就是圓錐曲線的離心率，即e=cosβcosα，這里結合丹德林雙球模型進行證明，我們把圖1丹德林雙球模型立體圖轉變成平面圖，具體如圖3所示，證明過程如下：

證明 如圖3，設平面圓O1和圓O2的半徑為r1，r2，過點O1作CD的平行線交O2D于點E，過點O1作AB的平行線O1G，連接O2G.設軸和母線的夾角為α，截面與軸的夾角為β，即∠EO1O2=α，∠GO1O2=β.由切線長定理可知BF1=BC，BF2=BD，故BF1+BF2=BC+BD=CD=O1E=2a，O1G=F1F2=2c.

在△O1EO2中，cosα=O1EO1O2=2aO1O2，

在△O1GO2中，cosβ=O1GO1O2=2cO1O2，

所以cosβcosα=2c2a=ca，即e=cosβcosα.圖3 丹德林雙球模型平面圖"" 圖4 例1示意圖

3 典例分析例1 （2023年廣州調研考）如圖4所示，數學家Dandelin利用這一模型證明了一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放入兩個球O1，O2，兩球都與圓錐的側面相切，同時這兩個球也都與截面α相切，切點是點E和F（E和F分別是截口橢圓的焦點），設圖中球O1，球O2的半徑分別為4和2，球心距離|O1O2|=210，則此橢圓的離心率等于.

解法1 如圖5，設O1O2∩EF=D，

由|O2D||O1D|=|O2F||O1E|=12，|O2D|+|O1D|=210，得

|O2D|=2103，|O1D|=4103.

所以|DE|=（4103）2-42=43，

|DF|=（2103）2-22=23.

所以2c=43+23=2，即c=1.

設直線EF與圓錐的母線相交于點A，圓錐的母線與球相切于B，C兩點，如圖5所示，則|AB|=|AE|，|AC|=|AF|，兩式相加，得|AB|+|AC|=

|AE|+|AF|

=a-c+a+c=2a，則|BC|=2a.

過點O2作O2G⊥O1B，垂足為點G，則四邊形BGOC為矩形，所以2a=|BC|=（210）2-22=6，解得a=3.

所以橢圓的離心率e=ca=13.

圖5 例1解法1圖""""" 圖6 例1解法2圖

解法2 如圖6，設軸與母線所成角為α，截面與軸所成角為β，即∠GO2O1=α，∠EDO1=β.

由解法1知|O2G|=|BC|=（210）2-22=6，

|O1D|=4103，DE=43.

所以cosα=O2GO1O2=6210=31010，

cosβ=DEO1D=1010，得e=cosβcosα=13.

例2 （2024年北京豐臺高三二模）“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”，利用這個原理，小明在家用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓，光錐的一條母線恰好與墻面垂直，圖7是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面APB是等邊三角形，橢圓O1所在的平面為α，PB⊥α，則橢圓的離心率為.

解析 根據題意可知，母線與軸的夾角為θ=π6，截面與軸的夾角β=π3.所以根據結論可得

e=cosβcosθ=cos（π/3）cos（π/6）=1/23/2=33.

例3 如圖8，比利時數學家丹德林發現：在圓錐內放入兩個大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側面得到的截面曲線是橢圓，這個結論在圓柱中也適用，如圖9所示，在一個高為20，底面半徑為4的圓柱體內放兩個小球，球與圓柱底面及側面都相切，若一個平面與兩個小球都相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個橢圓，該橢圓的離心率為.

解析 如圖10所示，作出圓柱的軸截面，切點為E，F，延長EF與圓柱面相交于A，B兩點，過點O作OC⊥BC，在△FOO1中，FO1=4，OO1=20-4×22=6，sin∠FOO1=FO1OO1=23，易知∠FOO1=∠OBC.

所以sin∠OBC=OCOB=23，OC=4，得OB=6，

即a=6.

所以OF=OO21-FO21=25.

即c=25.

所以e=ca=256=53.

4 結束語

本文用丹德林雙球模型證明了離心率與截面角的關系，以丹德林雙球模型為切入點解決此類橢圓離心率問題，不僅幫助學生深刻理解了橢圓的幾何特性，還顯著提高了解題效率和準確性.丹德林雙球模型的應用不僅契合新高考對學生綜合素養的要求，也為進一步提升學生的數學核心素養和綜合能力提供了重要支持[2].未來研究可以探索該模型在其他幾何問題中的應用，擴展其教學價值.

參考文獻：

［1］付小華，幸世強，代月，等.相約兩世紀之網絡畫板與丹德林雙球模型：圓錐曲線證明的直觀方法[J].教育科學論壇，2022（22）：52-54.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

［責任編輯：李 璟］