教材對雙曲線高考復習的兩點隱性要求

摘 要：文章闡述教材對雙曲線高考復習的兩點隱性要求：建立平面直角坐標系解決雙曲線問題是基本解法；理解和把握教材中雙曲線概念間關系，類比解決非標準狀態下的雙曲線問題.

關鍵詞：雙曲線；高考復習；解題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0026-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：俞新龍（1976.11—），男，浙江省紹興人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

圓錐曲線是高中數學重要內容之一，也是高考必考內容，所以圓錐曲線涉及的題型非常豐富，解題方法和技巧以及解題中可用到的結論、性質也比較多，這些情況在高考復習時師生一般都會關注，但僅注重這些已經不能適應高考命題改革.現今高考命題更注重對教材知識的深層理解和靈活應用，因此，我們在圓錐曲線高考復習時需要進一步研讀數學教材，從中領悟一些隱性內涵，從而來提高高考復習的有效性.下面以雙曲線為例，具體闡述教材對雙曲線高考復習的兩點隱性要求.

1 建立平面直角坐標系解決雙曲線問題是基本解法

教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何的本質是用代數（坐標）的方法來研究幾何.因此，在判斷出曲線形狀是雙曲線后就應當考慮用平面直角坐標系來解決問題.

例1 在三棱錐P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為（" ） .

A.23" B.34" C.12" D.105

解析 因為AB=22，PA+PB=4，CA-CB=2，所以由橢圓和雙曲線定義知點P在以A，B為焦點的橢圓上，點C在以A，B為焦點的雙曲線一支上，但它們不在同一個平面內，如何建立內在關系呢？

如圖1所示的三棱錐P-ABC中，作PH⊥AB，又因為PC⊥AB，所以AB⊥平面PHC.

故CH⊥AB.

所以∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角.

O為AB中點，在平面PAB中建立如圖2所示的平面直角坐標系，則可知點P所在橢圓方程為

x24+y22=1.

在平面CAB中建立如圖3所示的平面直角坐標系，則可知點C所在雙曲線方程為

x2-y2=1（xgt;0）.

若設點P坐標為（2cosα，2sinα），則

|OH|=2cosα，|PH|=2sinα.

故知在圖3中點C橫坐標為2cosα.

代入雙曲線方程得y=-4cos2α-1.

則|CH|=4cos2α-1.

于是cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2sin2α+4cos2α-1-122sinα·4cos2α-1

=cos2α2·1-cos2α·4cos2α-1

=12·-

1/cos4α+5/cos2α-4

=12·-（1/cos2α-5/2）2+9/4

≥12·9/4=23，

當且僅當1cos2α=52即cosα=25時取等號.

故選A.

如果點P坐標不設三角式也一樣可以解答：

設點P坐標為（x，y），則

|OH|=x（0lt;xlt;2），|PH|=2-x22，yC=-x2-1.

故|CH|=x2-1.

所以cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2-x2/2+x2-1-12·2-

x2/2·x2-1

=x2/28-2x2·x2-1

=12·-8/x4+10/x2-2

=12·-2（2/x2-5/4）2+9/8

≥12·9/8=23，

當且僅當2x2=54即x=85時取等號.

故選A.

評注 立體幾何和解析幾何的重點在后兩個字：幾何，即圖形問題，因此通過坐標系可以將兩者有機融合在一起.本題以立體幾何為背景，將不在同一個平面上的橢圓與雙曲線通過兩個點的橫向距離（橫坐標）相等巧妙組合，通過坐標系計算出橢圓和雙曲線上點的位置關系，從而得到線段長度.

2 理解和把握教材中雙曲線概念間關系，類比解決非標準狀態下雙曲線問題

普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》第二節《雙曲線》

［1］通過類比橢圓的研究方法具體闡述了雙曲線的定義、標準方程、性質、應用等，在直角坐標系上明確了雙曲線的一些基本概念（差定值、焦點、對稱軸、離心率、漸近線等）的計算，在“探究與發現”中具體論述了“為什么

y=±bax是雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線”.這些內容都是在雙曲線標準方程下進行計算和研究的，即雙曲線的對稱軸是x軸和y軸的情況.我們知道，雙曲線的概念和性質是固有的，即只要不發生形狀的變化就不會改變.那么，如果雙曲線對稱軸不是x軸和y軸了，它的一些基本信息怎么求解呢？這就需要我們對教材中雙曲線的學習內容有深入理解和把握：雙曲線的對稱軸是漸近線的角平分線，對稱軸與雙曲線圖象的交點是兩個頂點，頂點之間距離是實軸長2a（即差定值），過頂點并垂直對稱軸的直線與漸近線相交的交點之間距離就是虛軸長2b，據此可以計算出與雙曲線有交點的對稱軸上的焦點位置及焦距2c，于是易得雙曲線離心率e=ca，從而類比解決其他相關雙曲線概念.

例2 某數學興趣小組的同學經研究發現，反比例函數y=1x的圖象是雙曲線，設其焦點為M，N，若P為其圖象上任意一點，則（" ）.

A.y=-x是它的一條對稱軸

B.它的離心率為2

C.點（2，2）是它的一個焦點

D.||PM|-|PN||=22

解析 如圖4所示，因為雙曲線y=1x的漸近線是x軸和y軸，所以第一三象限角平分線y=x和第二四象限角平分線y=-x是雙曲線y=1x的對稱軸，且漸近線互相垂直，故此雙曲線是等軸雙曲線.

于是知它的離心率為2.

對稱軸y=x和雙曲線y=1x的交點A（1，1）和B（-1，-1）是雙曲線的頂點，故2a=|AB|=22.

所以||PM|-|PN||=22.

由2=c2，解得c=2.

又因為焦點在直線y=x上，所以可以設焦點坐標為（m，m）和（-m，-m）（mgt;0），則22m=2c=4，得m=2.

因此雙曲線的焦點坐標是M（2，2）和

N（-2，-2）.

綜上所述，故選ABD.

評注 本題中因為漸近線互相垂直，所以可知雙曲線離心率為2，從而知c=2，對于一般雙曲線來說，應該先求出經過頂點A（1，1）且與對稱軸y=x垂直的直線y=-x+2，直線y=-x+2與漸近線y軸的交點C（0，2），點C到對稱軸y=x的距離2即為短半軸長b，因此a=b，所以此雙曲線為等軸雙曲線，離心率為2.

變式 雙曲線y=x+1x的離心率為.

解析 因為雙曲線y=x+1x的漸近線是y軸和直線y=x，所以兩者的角平分線y=tan3π8·x=（1+2）x是其中一條對稱軸，則另一條對稱軸是

y=（1-2）x，對稱軸y=（1+2）x與雙曲線y=x+1x在第一象限的交點坐標（即是雙曲線的一個頂點）為A（2-14，（1+2）2-14），所以a=|OA|=2-12+（3+22）2-12=（4+22）2-12.

過頂點A且與另一條對稱軸平行的直線y-

（1+2）2-14=（1-2）（x-2-14）與漸近線y軸的交點坐標是B（0，22·2-14），

故b=|AB|=2-12+（3-22）2-12

=（4-22）2-12.

所以c=a2+b2=8·2-12.

因此，雙曲線離心率

e=ca=8·2-12（4+22）2-12=4-22.

如圖5所示，實際上，對于雙曲線y=ax+bx（a，bgt;0）來講，y軸和直線y=ax是其漸近線（記tanα=a），所以它們的角平分線OA，OC就是對稱軸，過點A且平行對稱軸OC的直線交y軸于點B，則根據雙曲線性質知|OA|=a，|AB|=b，|OB|=c.

所以雙曲線離心率e=ca=1cos∠AOB.

又cos∠AOB=cos（π4-α2）

=1+cos （π/2-α）2

=1+sinα2，

而sinα=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1=aa2+1，

所以cos∠AOB=a2+1+a2a2+1.

故e=2a2+1a2+1+a=2a2+1（a2+1-a）.

特別地，例2中a=0，此時離心率為2；例2變式中a=1，此時離心率為4-22.

從得到的結果看，雙曲線y=ax+bx離心率與b無關.教材中，我們學習了在雙曲線標準方程下，當焦點所在坐標軸不變，漸近線不變的情況下離心率是不發生變化的，同樣地，因為雙曲線y=ax+bx的焦點所在坐標軸OA：y=tan（π4+α2）x=（a2+1+

a）x與b無關（注：tan（π4+α2）=1+tan（α/2）1-tan（α/2）=cos（α/2）+sin（α/2）cos（α/2）-sin（α/2）=1+a/a2+11-a/a2+1=a2+1+aa2+1-a=a2+1+a），對稱軸y軸和直線y=ax也與b無關，所以當b發生變化時，該雙曲線的離心率確實也與b無關，即離心率不發生變化.

3 結束語

隨著高考命題不斷去套路化，更加注重對數學教材知識理解的考查，像語文古文理解一樣逐字逐句學習與復習數學教材是十分必要的.

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（A）版：數學（必修第一冊）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責任編輯：李 璟］