畫簡(jiǎn)圖解三角函數(shù)性質(zhì)題

摘 要：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的數(shù)學(xué)思想方法，文章通過優(yōu)化課本中利用關(guān)鍵點(diǎn)畫三角函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法，快速畫出三角函數(shù)的圖象，利用圖象解與三角函數(shù)相關(guān)的題目.

關(guān)鍵詞：圖象；三角函數(shù)；性質(zhì)

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0068-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：梁郁藝（1983.1—），男，廣東省茂名人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

三角函數(shù)圖象的性質(zhì)是高考的常考內(nèi)容.對(duì)于y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）圖象性質(zhì)的題目，常規(guī)的解法是通過ωx+φ整體代換，利用y=sinx，y=cosx，y=tanx相關(guān)性質(zhì)來解題［1］.下面談?wù)劻硪粋€(gè)思路，直接畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，借助簡(jiǎn)圖來解題，直觀、簡(jiǎn)便、操作性強(qiáng).

1 優(yōu)化找出關(guān)鍵點(diǎn)的方法、快速畫簡(jiǎn)圖

運(yùn)用圖象法解三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的題目，需要快速畫出圖象，如果畫圖麻煩，則效率不高.課本中介紹的畫簡(jiǎn)圖方法是利用ωx+φ等于y=sinx，y=cosx，y=tanx相應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、對(duì)稱中心）的橫坐標(biāo)，通過解方程得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ），

y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)來畫出圖象.下面優(yōu)化一下找出關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)的方法，快速畫出簡(jiǎn)圖.

1.1 畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）簡(jiǎn)圖方法

畫y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的簡(jiǎn)圖步驟如下：第一步，令ωx+φ=0，得x=-φω

；第二步，求周期T，然后求T4；第三步，把-φω和T4化分母相同；第四步，由-φω不斷加或減T4，得到-φω右側(cè)或左側(cè)的關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而找出一些關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線連接得到圖象簡(jiǎn)圖.

1.2 畫函數(shù)y=Atan（ωx+φ）簡(jiǎn)圖方法

類似上面畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）簡(jiǎn)圖方法中找關(guān)鍵點(diǎn)的方法，畫函數(shù)y=Atan（ωx+φ）的圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)稱中心.可先確定一個(gè)對(duì)稱中心，再把這個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)與半個(gè)周期T2化分母相同，快速由一個(gè)對(duì)稱中心找出相鄰的其他對(duì)稱中心畫出簡(jiǎn)圖.

2 畫簡(jiǎn)圖解三角函數(shù)性質(zhì)題范例

2.1 直接畫簡(jiǎn)圖解題

例1 （2018年高考全國Ⅲ卷）函數(shù)f（x）=cos（3x+π6）在［0，π］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．

解析 由3x+π6=0，得x=-π18，最小正周期T=2π3，則T4=π6=3π18.由-π18向右不斷加上3π18可確定-π18右側(cè)的關(guān)鍵點(diǎn)，從而畫出簡(jiǎn)圖如圖1.由圖象可知函數(shù)在［0，π］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè).

2.2 題目給出函數(shù)圖象求函數(shù)的性質(zhì)

例2 （2015年高考真題）函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖象如圖2所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（" ）.

A．（kπ-14，kπ+34）（k∈Z）

B．（2kπ-14，2kπ+34）（k∈Z）

C．（k-14，k+34）（k∈Z）

D．（2k-14，2k+34）（k∈Z）

解析 由題可知T2=54-14=1，所以T=2，

T4=12.題目的圖中有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（14，0），這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)左側(cè)最高點(diǎn)橫坐標(biāo)是14-12=-14，這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)右側(cè)最低點(diǎn)橫坐標(biāo)是14+12=34.所以f（x）在原點(diǎn)附近的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（-14，34），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2k-14，2k+34）（k∈Z）.

2.3 已知條件有函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)求函數(shù)的性質(zhì)

例3 （2022年高考真題）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0lt;φlt;π）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2π3，0）中心對(duì)稱，則（" ）.

A．f（x）在區(qū)間（0，5π12）單調(diào)遞減

B．f（x）在區(qū)間（-π12，11π12）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C．直線x=7π6是曲線y=f（x）的對(duì)稱軸

D.直線y=32-x是曲線y=f（x）的一條切線

解析 題目有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（2π3，0），T=2π2=π，即T4=π4.化分母相同，2π3=8π12，T4=π4=3π12，關(guān)鍵點(diǎn)（2π3，0）可能是圖象上升時(shí)與x軸交點(diǎn)，也可能是圖象下降時(shí)與x軸交點(diǎn).所以要分兩種情況討論.

如果關(guān)鍵點(diǎn)（2π3，0）是圖象上升時(shí)與x軸交點(diǎn)，用8π12不斷加上3π12可得到2π3右邊的關(guān)鍵點(diǎn)，用8π12不斷減去3π12可得到2π3左邊的關(guān)鍵點(diǎn)，畫出簡(jiǎn)圖如圖3.根據(jù)2x+φ=0，得x=-φ2，圖象是符合0lt;φlt;π的.由圖象可知答案A是正確的，答案B，C是不正確的.此時(shí)-φ2=-4π12，即φ=2π3，f（x）=sin（2x+2π3）.由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可解得答案D是正確的.圖3 例3解析圖

如果關(guān)鍵點(diǎn)（2π3，0）是圖象下降時(shí)與x軸交點(diǎn)，畫出簡(jiǎn)圖如圖4.根據(jù)2x+φ=0，得x=-φ2，圖象是不符合0lt;φlt;π的，所以不符合題意.

2.4 已知區(qū)間的關(guān)鍵點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)ω范圍

例4 （2022年高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=

sin（ωx+π3）（ωgt;0）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.

解析 由ωx+π3=0，得x=-π3ω，最小正周期T=2πω，則T4=π2ω.化分母相同，得x=-π3ω=-2π6ω，T4=π2ω=3π6ω.用-2π6ω不斷加上3π6ω可得到-2π6ω右邊的關(guān)鍵點(diǎn)，畫簡(jiǎn)圖如圖5.因?yàn)樵趨^(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，所以由圖可知13π6ωlt;π≤16π6ω，即136lt;ω≤83，所以答案為C.

2.5 已知某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)ω范圍

例5 （2012年高考真題）已知ωgt;0，函數(shù)f（x）=

sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是.

解析 由ωx+π4=0得x=-π4ω，最小正周期T=2πω，T4=π2ω.化分母相同，T4=π2ω=2π4ω.用-π4ω不斷加上2π4ω可得到-π4ω右邊的關(guān)鍵點(diǎn)，畫簡(jiǎn)圖如圖6.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調(diào)遞減，所以T2≥π-π2=π2，所以π4ω≤π2lt;π≤5π4ω.解得12≤ω≤54.圖6 例5解析圖

注意 （π2，π）不能在原點(diǎn)右邊第二個(gè)及之后的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，因?yàn)門2≥π2，如果在原點(diǎn)右邊第二個(gè)及之后的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，這時(shí)（0，π2）含超過半個(gè)周期圖象，與T2≥π2矛盾.

2.6 ω和φ都是參數(shù)求參數(shù)ω最值

例6 （2016年高考真題）已知函數(shù)f（x）=

sin（ωx+φ）（ωgt;0，|φ|≤π2），x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調(diào)，則ω的最大值為.

解析 本題中ω和φ都是參數(shù)，不需畫圖，直接利用題目給的關(guān)鍵點(diǎn)來確定其他的關(guān)鍵點(diǎn)，依據(jù)題意建立不等式組求解.最小正周期T=2πω，T2=πω，T4=π2ω.由-π4加上T4得到右側(cè)相鄰的那條對(duì)稱軸，然后分別加上整數(shù)個(gè)T2可得到其它的對(duì)稱軸，其中（π18，5π36）是夾在兩條相鄰的對(duì)稱軸之間，所以

-π4+T4+k·T2=-π4+π2ω+k·πω=π4，k∈Z，-π4+T4+m·T2=-π4+π2ω+m·πω≤π18，m∈Z，-π4+T4+（m+1）·T2=-π4+π2ω+"""" （m+1）·πω≥5π36，m∈Z，T2≥5π36-π18=π12，

化簡(jiǎn)，得ω=2k+1，k∈Z，ω≥18（2m+1）11，m∈Z，ω≤9（2m+3）7，m∈Z，ω≤12.

當(dāng)m=2時(shí)，9011≤ω≤9；當(dāng)m=3時(shí)，12611≤ω≤817，此范圍不含有奇數(shù)的ω值.

所以ω=9.

2.7 函數(shù)y=Atan（ωx+φ）性質(zhì)習(xí)題范例

例7 （多選題）已知函數(shù)f（x）=tan（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π2），其圖象的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心間的距離為π4，且f（0）=33，則下列說法正確的是（" ）.

A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π4

B．函數(shù)f（x）的定義域x|x≠π12+kπ4，k∈N

C．函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心為（kπ4-π12，0）（k∈Z）

D．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（kπ2-π3，kπ2+π6）（k∈Z）

解析 由f（0）=33，0lt;φlt;π2，得φ=π6，由圖象的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心間的距離為π4，得T2=π4，T=π2=πω，所以ω=2.

所以f（x）=tan（2x+π6）.

由2x+π6=0，得x=-π12，化分母相同，得T2=π4=3π12.用-π12不斷加或減3π12可得到-π12右側(cè)或左側(cè)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，畫簡(jiǎn)圖如圖7，由圖可知，正確的選項(xiàng)是CD.

點(diǎn)評(píng) 畫出函數(shù)的圖象，能直觀、快捷找到函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)的結(jié)論.3 結(jié)束語數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.通過上面幾道高考題的解題過程，我們可以看到，畫函數(shù)的簡(jiǎn)圖來解三角函數(shù)性質(zhì)的題目，無論是基礎(chǔ)題還是壓軸題，都能依據(jù)圖象直觀、快速地正確解答，還能簡(jiǎn)便運(yùn)算過程，相比常規(guī)方法在很大程度上降低了難度.

參考文獻(xiàn)：

［1］張建文.三角函數(shù)中求ω的常見類型及解題策略[J].數(shù)理化解題研究，2024（19）：38-41.

［責(zé)任編輯：李 璟］