一道試題的錯(cuò)解所引發(fā)的探究

摘 要：文章對(duì)一道試題的錯(cuò)解展開(kāi)探究，探求錯(cuò)解的原因，得到兩個(gè)一般性的結(jié)論及相應(yīng)的應(yīng)用，以此說(shuō)明數(shù)學(xué)解答嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾?

關(guān)鍵詞：嚴(yán)謹(jǐn)性；錯(cuò)解；三角最值；均值不等式

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0018-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：林國(guó)紅（1977—），男，廣東省佛山人，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)刻體現(xiàn)在知識(shí)的運(yùn)用和解決問(wèn)題中，若輕視數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，往往在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)導(dǎo)致解答的過(guò)程失之嚴(yán)密完整，產(chǎn)生遺漏甚至錯(cuò)誤的結(jié)果[1].本文對(duì)一道試題的錯(cuò)解展開(kāi)探究，探求錯(cuò)解的原因，并給出正解的結(jié)論及相應(yīng)的應(yīng)用.

1 探究的緣由

最近在閱讀某中學(xué)數(shù)學(xué)期刊時(shí)，發(fā)現(xiàn)一篇文章對(duì)一道三角函數(shù)的試題進(jìn)行了研究，并在試題的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，得到一個(gè)性質(zhì).以下是試題與性質(zhì)及其原解答過(guò)程.

試題 已知0lt;x，ylt;π2，求8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值.

解析" "由基本不等式及柯西不等式得，

8sin2x+1cosxcos2ysin2y

≥1cosx［（cos2y+sin2y）/2］2+8sin2x

=8sin2x+4cosx

≥（22+2）2sin2x+cosx

=12+821-cos2x+cosx

=12+82-（cosx-1/2）2+5/4

≥12+825/4

=48+3225，

當(dāng)cosx-12=0，即x=π3時(shí)取等號(hào).

故8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是48+3225.

性質(zhì) 已知0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，則asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是45（a+2b）2.

證明 由基本不等式及柯西不等式，得

asin2x+bcosxcos2ysin2y

≥

bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2

+asin2x

=asin2x+4bcosx

≥（a+2b）2sin2x+cosx

=（a+2b）21-cos2x+cosx

=（a+2b）2-（cosx-1/2）2+5/4≥（a+2b）25/4

=45（a+2b）2.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是45（a+2b）2，當(dāng)且僅當(dāng)cosx-12=0，即x=π3時(shí)取等號(hào).

上述解法巧妙，引起筆者的興趣，對(duì)此進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)試題與性質(zhì)的解法有誤，所得的結(jié)果（結(jié)論）也不對(duì)！筆者分析其錯(cuò)誤原因，并修正其結(jié)果（結(jié)論）.特意成文，與讀者分享.

2 錯(cuò)解剖析

原解答利用基本不等式、柯西不等式及配方法進(jìn)行多次放縮，粗看思路清晰，解法巧妙，似乎正確，但其實(shí)在放縮過(guò)程中沒(méi)有注意各個(gè)取等條件的一致性，導(dǎo)致解答出現(xiàn)錯(cuò)誤！

（1）試題的解答中第二個(gè)不等號(hào)成立的條件是22sin2x=2cosx，第三個(gè)不等號(hào)成立的條件是cosx=12，即x=π3.但當(dāng)x=π3時(shí)，22sin2x≠2cosx，即兩處不等號(hào)的取等條件不一致，所以原解法有誤，8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值不是48+3225.

（2）性質(zhì)的證明中第二個(gè)不等號(hào)成立的條件是asin2x=2bcosx，第三個(gè)不等號(hào)成立的條件是cosx=12，即x=π3.但當(dāng)x=π3時(shí)，asin2x與2bcosx不一定相等，即兩處不等號(hào)的取等條件可能不一致，所以原解法有誤，所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值不一定是45（a+2b）2.

因而原解答的“巧解”不一定是正解.

3 兩個(gè)結(jié)論

試題與性質(zhì)的原解法有誤，那么試題有最小值嗎？若有，又該如何解答？

經(jīng)探究，可得到以下兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1 若0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，則asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是2ak0+334b2k0-k0（其中k0是關(guān)于k的方程ak+34b2k2=1的根）.

證明 由均值不等式，得

asin2x+bcosxcos2ysin2y≥

bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2+asin2x=asin2x+4bcosx，

當(dāng)且僅當(dāng)siny=cosy，即y=π4時(shí)，等號(hào)成立.

由0lt;xlt;π2，則sinxgt;0，cosxgt;0.

設(shè)kgt;0，令M=asin2x+4bcosx，由均值不等式，得

M=asin2x+4bcosx=（asin2x+ksin2x）+（2bcosx+2bcosx+kcos2x）-k≥2ak+334b2k-k，

當(dāng)且僅當(dāng)asin2x=ksin2x，2bcosx=kcos2x， 即sin4x=ak，cos3x=2bk時(shí)，等號(hào)成立.即sin2x=ak，cos2x=34b2k2.

所以ak+34b2k2=1.

令f（k）=ak+34b2k2-1，agt;0，bgt;0，kgt;0，則f（k）在（0，+SymboleB@）單調(diào)遞減.

又f（a）=34b2k2gt;0，且當(dāng)k→+SymboleB@時(shí)，f（k）→-1.

故由零點(diǎn)存在性定理，可知存在唯一的k0gt;0，使得f（k0）=ak0+34b2k20-1=0，即關(guān)于k的方程ak+34b2k2=1有唯一的正實(shí)數(shù)根k0.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是2ak0+

334b2k0-k0（其中k0是關(guān)于k的方程ak+34b2k2=1的根）.

評(píng)注 在結(jié)論1中，令a=8，b=1，則得8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是42k0+334k0-k0（其中k0是關(guān)于k的方程8k+34k2=1的根，k0≈14.76），這正是原試題的結(jié)果.且由結(jié)論1可知，若關(guān)于k的方程ak+34b2k2=1沒(méi)有有理根，是很難求出asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值的，所以原試題不適合用于考試.

結(jié)論2 若0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，且a=9b，則asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是20b.

證明 由基本不等式及柯西不等式得，

asin2x+bcosxcos2ysin2y=9bsin2x+bcosxcos2ysin2y

≥9bsin2x+bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2

=9bsin2x+4bcosx

≥（3b+2b）2sin2x+cosx

=25b-（cosx-1/2）2+5/4

≥25b5/4=20b.

當(dāng)且僅當(dāng)3bsin2x=2bcosx，cosx=12，siny=cosy， 即x=π3，y=π4時(shí)，等號(hào)成立.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是20b.

4 兩個(gè)結(jié)論的應(yīng)用舉例

事實(shí)上，形如結(jié)論1或者結(jié)論2（a，b取特殊值）的試題在競(jìng)賽中較為常見(jiàn)，常考常新.

例1 （2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽第10題）已知0lt;x，ylt;π2，則9sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是.

解析 由基本不等式及柯西不等式，得

9sin2x+1cosxcos2ysin2y

≥9sin2x+1cosx［（cos2y+sin2y）/2］2

≥9sin2x+4cosx

≥（3+2）2sin2x+cosx

=25-（cosx-1/2）2+5/4

≥255/4=20，

當(dāng)且僅當(dāng)3sin2x=2sinx，cosx=12，siny=cosy 即x=π3，y=π4時(shí)取等號(hào).

所以9sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是20.

評(píng)注 顯然，例1就是在結(jié)論2中，取a=9，b=1的情形.

例2 （2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽第10題）設(shè)x∈（0，π2），則函數(shù)y=2254sin2x+2cosx的最小值為.

解析 由x∈（0，π2），所以sinxgt;0，cosxgt;0.

設(shè)kgt;0，則

y=2254sin2x+2cosx=（2254sin2x+ksin2x）+（1cosx+1cosx+kcos2x）-k≥15k+33k-k，

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)2254sin2x=ksin2x，1cosx=kcos2x

sin4x=2254k，cos3x=1ksin2x=152k，cos2x=13k2，此時(shí)152k+13k2=1.

設(shè)1k=t6（tgt;0），則2t4+15t3-2=（2t-1）（t3+

8t2+4t+2）=0，解得t=12.

注意到sin2x=152klt;1，cos2x=13k2lt;1， 可知t=12滿足條件.故當(dāng)t=12，即k=1t6=64時(shí)，等號(hào)成立.

所以y=2254sin2x+2cosx的最小值為1564+

3364-64=68.

評(píng)注 例2的解答過(guò)程實(shí)際上與結(jié)論1的證明中求M=asin2x+4bcosx的最小值是一致的.

5 試題的變式

原試題還可進(jìn)行相應(yīng)的變式.

例3 "（2023年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂數(shù)學(xué)測(cè)試題第17題）設(shè)x，y∈（0，π2），則1cos2x+1sin2xcos2ysin2y的最小值為.

解析 由基本不等式及柯西不等式，得

1cos2x+1sin2xcos2ysin2y

≥1cos2x+1sin2x［（cos2y+sin2y）/2］2

=1cos2x+4sin2x

≥（1+2）2cos2x+sin2x=9，

當(dāng)且僅當(dāng)siny=cosy，1cos2x=4sin2x， 即y=π4，x=arctan2時(shí)，等號(hào)成立.

評(píng)注 例3能否推廣得到類似結(jié)論1的結(jié)論？這些留給感興趣的讀者自行探索.

6 結(jié)束語(yǔ)

解題要反思，對(duì)于發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)題（錯(cuò)解），也不要輕易放棄，如果能充分挖掘錯(cuò)題（錯(cuò)解）的教育功能，對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)密性和批判性都將起到很好的作用.對(duì)于解答中出現(xiàn)的不同結(jié)果，要學(xué)會(huì)區(qū)別和聯(lián)系，明辨是非和方向，深入剖析錯(cuò)解的根源，引導(dǎo)學(xué)生從多角度進(jìn)行深度思考問(wèn)題.此外，還應(yīng)該對(duì)錯(cuò)題（錯(cuò)解）進(jìn)行修正，重新開(kāi)發(fā)利用，使其變廢為寶.

參考文獻(xiàn)：

［1］林國(guó)紅.縝密思維嚴(yán)謹(jǐn)答題：以一道判斷三角形形狀的問(wèn)題為例[J].數(shù)理化解題研究，2023（01）：50-52.

［責(zé)任編輯：李 璟］