基于不同試驗設計方法的落石沖擊力預測研究

落石沖擊力的預測多采用模型試驗和理論算法的手段。其中，在多因素、多水平的試驗研究中，如何選用一套最簡單、最合理的試驗設計方案，是一個至關重要的問題。基于落石沖擊問題進行多次試驗，分別采用全面組合設計、正交設計和均勻設計的方法對落實沖擊力進行預測。研究表明：（1）全面組合試驗設計方法結果能夠對實際情況進行有效的預測，但其工作量巨大。（2）對于正交設計試驗方法，當F值較大時，正交設計試驗結果較實測數據偏小。（3）均勻設計試驗結果的預測精度最高；均勻設計在大幅度的減少工作量、人力、物力的同時，以其科學的設計方法有效的提高了試驗結果的精度。

落石沖擊力； 全面組合設計； 正交設計； 均勻設計； 預測方法

P642.21A

［定稿日期］2022-10-10

［課題項目］國鐵集團重點課題（項目編號：N2021G005）

［作者簡介］姚慶晨（1997—），男，碩士，主要從事隧道及地下工程結構研究工作。

［通信作者］王玉鎖（1974—），男，博士，副教授，主要從事隧道及地下工程結構研究工作。

0 引言

均勻設計（Uniform Design）是一種只考慮試驗點在試驗范圍內均勻散布的試驗設計方法。它由方開泰教授和王元院士在1978年共同提出，是數論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用。方開泰［1］專著中的均勻設計現廣泛應用于航天軍事、石油化工、物流、優化、品質工程等方面，得到了國內外各領域的認可。

正交試驗設計是一種可以簡化多因素多水平試驗個數的一種設計方法，其操作原理是依從正交性從全面組合試驗中挑選出一些具代表意義的點進行試驗，這些被選取的點都有“均勻分散，齊整可比”的特點。

王永東等［2］利用MDR法（降維法）將落石三維模型轉化為一維模型，通過理論分析得出了落石沖擊墊層時的沖擊力以及墜入深度的解析解。王林峰等［3］采用離散元軟件模擬，發現在沖擊能量相同的情況下，同一密度而半徑小或者相同半徑而密度小的落石沖擊力更大；落石回彈加速度在相同高度的條件下也遵循同一密度而半徑小或者相同半徑而密度小的落石回彈加速度更大的規律。

在多因素、多水平的試驗研究中，如何選用最簡單最合理的設計方案，是一個至關重要的問題。本次采用三種不同試驗設計方法為落石沖擊力預測研究提供參考。除全面組合而外，在眾多的試驗設計表中，目前最常用的試驗設計方法為均勻設計和正交設計。本文基于落石沖擊問題進行多次試驗，對比不同設計方案所得結果，最后分析對比得到均勻試驗和正交試驗的試驗優化效果情況。

1 離散元模型及工況組合

研究平板頂部落實沖擊力，運用三維離散元顆粒流PFC 3D方法，離散元數值模型（圖1）。模型底部為四邊固定的平板結構采用Wall單元模擬，落石采用剛性Ball單元模擬，初設Ball單元球體密度，不同質量的落石通過改變球體半徑可得。落石下落高度H=5～100 m，落石質量密度為2 400 kg/m3，質量m=100～20000 kg。墻體法向剛度kn＇=1×108～1×1014 N/m，落石法向剛度kn″=1×108～1×1014 N/m。

基于落石沖擊拱形明洞試驗，選用4因素7水平的參數表進行試驗設計，如表1所示。該試驗若用全面組合設計需要作2 401組模擬工況，用正交設計需要做49組模擬工況，而通過均勻設計則只需要作7組模擬工況。為尋求最可靠最合理的試驗設計表，本文將同時采用三種設計表進行試驗并對結果進行對比。落石沖擊試驗參數如表1所示。

2 全面組合試驗方案與結果

將所有參數進行全面組合得到設計表后，通過離散元數值模擬得到對應的落石沖擊荷載。再通過SPSS進行多元線性回歸分析，可得到全面組合對應的相關性分析，見表2。

由于ln（Ep）、ln（kn）與ln（F）都在0.01水平上顯著相關，選取ln（WH）和ln（kn）作為自變量，ln（F）作為因變量。回歸模型的擬合優度，如表3所示。

表3中可看出決定系數R2為0.991，調整后不變。D-W檢驗值為1.984，說明模型中沒有殘差自相關的情況。回歸方程的方差分析情況，如表4所示。

結果表明，標準化后的因變量ln（F）與標準化后的ln（WH）和ln（kn）存在顯著的線性相關性。全面組合試驗回歸系數如表5所示。

由表5可得三個回歸系數t值的顯著性概率都為0，均小于設定值0.05，表明回歸系數是顯著的，因此變量可作為有效變量。由此可得到公式，如式（1）所示。

ln（F）=0.5ln（WH）+0.499ln（kn）+0.338（1）

轉化后，得到全面組合試驗落實沖擊荷載表達式見式（2）。

F=e［0.5ln（WH）+0.499ln（kn）+0.338］（2）

3 均勻設計試驗方案與結果

由均勻設計表U7（74）和對應的U7（74）使用表，如表6、表7所示。其中U7（74）表示可用于總數為7、每個因素有7水平的試驗設計，該表有4列，可容納2～4個試驗因素。因此，對照該設計表，選用1、2、3、4列，其偏差D為0.476，可得到最終的實驗所需各參數的組合，即可得到落石沖擊均勻試驗設計，如表8所示。

在SPSS中相關系數選擇Pearson（連續型變量），顯著性檢驗選擇單向檢測（檢測是否負相關），得到均勻試驗回歸模型相關性分析表，如表9所示。

由于ln（Ep）、ln（kn）與ln（F）都在0.01水平上顯著相關，選取ln（Ep）和ln（kn）作為自變量，ln（F）作為因變量。均勻試驗回歸模型的擬合優度如表10所示。

可看出決定系數R2為1，D-W檢驗值為2.069，該回歸方程中的參量均可以使用。其方差分析情況見表11。

結果表明，標準化后的因變量ln（F）與標準化后的ln（Ep）和ln（kn）存在顯著的線性相關性。根據建立的回歸方程得出對應的回歸系數，系數檢測如表12所示。

由表12可看出常量t值的顯著性概率為0.019，而其余兩個變量對應值為0，均小于設定值0.05，表明回歸系數都是顯著的。由此可得到公式，如式（3）所示。

ln（F）=0.503ln（WH）+0.499ln（kn）+0.318（3）

轉化后，得到均勻試驗落石沖擊荷載表達式，見式（4）。

F=e［0.503ln（WH）+0.499ln（kn）+0.318］（4）

4 正交設計試驗方案與結果

采用SPSS導入參數數據，自動生成正交試驗設計如表13所示。通過各個參數數據再進行試驗后得到對應的落石沖擊荷載可分析出其相關性，如表14所示。

由于ln（Ep）、ln（kn）與ln（F）都在0.01水平上顯著相關，選取ln（Ep）和ln（kn）作為自變量，ln（F）作為因變量。回歸模型的擬合優度如表15所示。

表15中可看出決定系數R2為0.986，調整后R2不變，常數項及變量ln（Ep）和ln（kn）可以解釋因變量ln（F）變化的98.6%。D-W檢驗值為1.936，回歸方程的參量均可以使用。其方差分析情況如表16所示。

結果表明，標準化后的因變量ln（F）與標準化后的ln（Ep）和ln（kn）存在顯著的線性相關性。最后檢測其正交回歸模型的系數，如表17所示。

由表17可看出常量的t值的顯著性概率為0.026，而其余兩個變量對應值為0，均小于設定值0.05，表明回歸系數都是顯著的。由此可得到公式，如式（5）所示。

ln（F）=0.464ln（WH）+0.501ln（kn）+0.795（5）

轉化后，得到正交試驗落實沖擊荷載表達式，見式（6）。

F=e［0.464ln（WH）+0.501ln（kn）+0.795］（6）

5 不同試驗結果分析與效果比較

結合之前三種試驗結果，為了驗證此三種方法對于數據的擬合度，將上面三種公式與全面組合試驗數據進行共線性分析。通過計算出三種公式對應每種工況所得到的數據，選取部分數據間隔400組提取100組進行共線性分析。分析結果如圖2所示。

再計算原始驗數據與計算數據的差值，最后將所有差值的絕對值相加得到差值和，如表18所示。

6 結論

基于三種不同試驗設計方案的落石沖擊力預測效果如下：

（1）對于全面組合而言，雖然結果能夠對實際情況進行有效的預測，但其工作量巨大。

（2）對于正交設計而言，而當F值較大時，正交設計試驗結果較實測數據偏小。

（3）均勻設計試驗結果的預測精度最高；均勻設計在大幅度的減少工作量、人力、物力的同時，以其科學的設計方法有效的提高了試驗結果的精度。具有較大的工程應用價值。

參考文獻

［1］ 方開泰. 正交與均勻試驗設計［M］. 北京： 科學出版社， 2001.

［2］ 王永東，燕新，彭浩，等.基于Hertz理論和JKR理論的落石沖擊力學研究［J］.地下空間與工程學報，2019，15（S2）：598-603.

［3］ 王林峰，姚昌銀，鄒政，等.基于離散元方法的落石沖擊力變化規律研究［J］.鐵道建筑，2017（6）：101-105.