一種確定小球臨界狀態(tài)的方法

摘 要：對一種輕桿關(guān)聯(lián)問題的合理性進行了探討，并在此基礎(chǔ)上提出了一種確定小球臨界狀態(tài)的方法。使用該方法對類似的問題進行分析，驗證了該方法的適用性，指出了試題在設(shè)置問題時應(yīng)適用所有的物理規(guī)律，確保科學(xué)合理。

關(guān)鍵詞：臨界狀態(tài)；速度極值；加速度

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0063-3

物體的運動狀態(tài)由初始條件和受力情況決定，也就是說，在試題命制時只要給定初始條件和情境，物體的運動情況就應(yīng)該是明確的，不應(yīng)隨意設(shè)置，否則就有可能出現(xiàn)科學(xué)性問題。出現(xiàn)科學(xué)性問題的主要原因往往是，只注意到初始過程，而忽視了運動中可能出現(xiàn)的變化。這種變化的轉(zhuǎn)折點就是“臨界狀態(tài)”。對臨界問題的關(guān)注能夠讓我們更準(zhǔn)確地認識物體的運動全景，下面通過具體的示例介紹一種臨界狀態(tài)的確定方法。

１ 問題的提出

在輕桿關(guān)聯(lián)的問題中，有一類經(jīng)典的試題，該試題通過機械能守恒和兩小球的速度關(guān)系，研究小球的速度變化問題，試題如下。

如圖１所示，輕桿長為Ｌ，輕桿兩端固定質(zhì)量均為ｍ的兩個小球Ａ和Ｂ，先將桿豎直靠放在豎直墻上，輕碰下端小球Ｂ，使小球Ｂ在水平地面上由靜止向右運動，當(dāng)桿與水平面成θ=30°角時，兩小球Ａ、Ｂ的速度vA和vB的大小分別是多少？（兩球半徑和一切摩擦均忽略不計，Ａ球始終貼著墻，Ｂ球始終貼著地面）

分析 Ａ和Ｂ兩球沿桿方向的速度分量相同，如圖２所示。

vAsin30°=vBcos30°

由系統(tǒng)機械能守恒，有

mgL（1-sin30°）=mv+mv

聯(lián)立解得

vA=

vB=

該試題特別強調(diào)“Ａ球始終貼著墻”，運動過程中Ａ球能不能“始終貼著墻”呢？以上求解是否合理呢？我們先定性、再定量分析這個問題，最后找到處理此類問題的一種方法。

２ 定性分析

利用動量定理作定性判斷，把Ａ、Ｂ球和桿取為一個系統(tǒng)。在運動過程中，墻面對這個系統(tǒng)有水平向右的作用力。如果Ａ球始終貼著墻面，那么Ａ球落地時系統(tǒng)沒有水平方向的速度，也沒有水平方向的動量。但是，墻面對系統(tǒng)有向右的彈力，彈力產(chǎn)生向右的沖量。這顯然與動量定理是矛盾的。可見，Ａ球始終貼著墻面是不可能的，它應(yīng)該在某一位置脫離墻面。那么，Ａ球在何處脫離墻面呢？

３ 定量計算

為了找到Ａ球脫離墻面的具體位置，由系統(tǒng)機械能守恒求得Ｂ球的速度，再求Ｂ球的加速度，得到墻面對Ａ球的彈力Ｎ，如圖３所示。

vAcosθ=vBsinθ

mgL（1-cosθ）=mv+mv

聯(lián)立得vB=

vB對時間求導(dǎo)可得Ｂ球的加速度

aB=

由牛頓第二定律得N=maB，則

N=

研究Ｂ球，設(shè)桿的彈力為Ｔ，有Tsinθ=maB，則

T=

可見，cosθ=時，aB=0，N=0，T=0。這時θ=48.2°，桿與水平面成41.8°角，Ｂ球的加速度等于０，速度最大。Ｎ＝０，則Ａ球脫離墻面。不可能出現(xiàn)Ａ球始終貼著墻運動，直到桿與水平面成30°角。因此，該試題的解答是錯誤的［１］。

接下來，求解Ａ球脫離墻面后落地瞬間的速度，設(shè)Ａ球落地瞬間水平速度為ｖｘ，豎直速度為ｖｙ。

將cosθ=代入ｖＢ，可得脫離時Ｂ球速度v=，桿對Ｂ球的彈力從推力變?yōu)槔?，Ｂ球開始減速，Ａ球在水平方向開始加速，直到最后二者共速。

系統(tǒng)水平方向動量守恒，有

mvBmax=2mvx

系統(tǒng)機械能守恒，有

mgL=mv+mv+mv

解得vx=

vy=

４ 實例分析

下面我們使用該方法對類似問題進行分析，確定小球的臨界狀態(tài)。

例１ 如圖４所示，質(zhì)量為ｍ的小球從靜止開始沿固定球面下滑，球面半徑為Ｒ，不計摩擦，小球可視為質(zhì)點。分析小球所受彈力變化規(guī)律及小球的運動特征。

方法一 設(shè)球面對小球的彈力為Ｎ，由動能定理和牛頓第二定律得

mgR（1-cosθ）=mv2

mgcosθ-N=

聯(lián)立解得N=mg（3cosθ-2）

可見，當(dāng)cosθ=時，N=0。小球在該位置脫離球面做斜拋運動。

方法二 利用能量守恒得到小球速度，對時間求導(dǎo)得到小球的水平加速度，由牛頓第二定律求得彈力，進而分析臨界狀態(tài)。

由mgR（1-cosθ）=mv2，得

v=

vx=vcosθ=

對時間求導(dǎo)ax=

在水平方向Nsinθ=max，v=ωR，則

N==mg（3cosθ-2）

即cosθ=，N=0。小球在該位置脫離球面做斜拋運動。

例２ 如圖５所示，輕桿長為Ｌ，輕桿兩端固定質(zhì)量均為ｍ的兩個小球Ａ和Ｂ，先將桿豎直靠放在豎直墻上，輕碰上端小球Ａ，使小球Ａ在豎直面內(nèi)由靜止向右下運動，則小球Ａ觸地瞬間兩小球Ａ、Ｂ速度vA和vB的大小分別是多少？兩球大小和一切摩擦均忽略不計。

解析 設(shè)輕桿轉(zhuǎn)過θ時Ａ球速度為v，由機械能守恒定律，有

mgL（1-cosθ）=mv2

v=

vx=vcosθ=

對時間求導(dǎo)得到Ａ球水平方向的加速度

ax=

在水平方向Nsinθ=max，v=ωL，則

N==mg（3cosθ-2）

即cosθ=時，Ｎ＝０，桿對Ａ球彈力為０，對B球的彈力變?yōu)槔Γ谠撐恢茫虑蛎撾x墻面。

接下來，求解落地瞬間的速度，設(shè)Ａ球落地瞬間水平速度為v'x，豎直速度為v'y。

將cosθ=代入ｖｘ，可得Ａ球水平最大速度vmax=

系統(tǒng)水平方向動量守恒，有

mvmax=2mv'x

系統(tǒng)機械能守恒，有

mgL= mv+mv+mv

解得

v'=

v'=

故得到

v==

v=v'=

５ 結(jié) 論

一個物體的運動情況受物體初始條件和受力情況影響。在涉及到桿、繩或接觸面的彈力時，力的大小往往隨時間變化，可能出現(xiàn)臨界狀態(tài)。借助能量守恒定律，求出物體的速度，再求出加速度，利用牛頓第二定律可以求出彈力的表達式，找到彈力變?yōu)椋暗奈恢?。這一位置就是物體脫離接觸面的臨界點或者從加速到減速的臨界點。

應(yīng)用牛頓運動定律、機械能守恒定律、動量守恒定律、動量定理，借助數(shù)學(xué)工具得到物理量的變化規(guī)律，分析可能出現(xiàn)的臨界狀態(tài)，才能明確物體的運動過程［２］。隨意設(shè)定物體如何運動，隨意規(guī)定物體運動軌跡，是不嚴謹?shù)摹?/p>

參考文獻：

［１］魏國強，魯湘，侯建敏．殊途同歸求極值，數(shù)理雙璧相媲美［Ｊ］．物理教學(xué)，２０１７，39（１２）：５０－５３．

［２］董祥卿，于才奎．用數(shù)學(xué)物理方法求極值［Ｊ］．物理教學(xué)探討，２００６，24（17）：３９．

（欄目編輯 蔣小平）