關于“驗證動量守恒定律”實驗的深入思考與創新設計

摘 要：新一輪課程改革對物理實驗教學提出了更高的要求。它指出：在物理實驗中，應發掘實驗在培養學生發現和提出問題能力方面的潛在價值，要避免讓學生按教師或教材的既定步驟進行“虛假探究”。以“驗證動量守恒定律”這一經典實驗為例，以真實的實驗數據記錄為依據，觀察和處理數據，歸納得出實驗結論；發現并提出新問題，引發對“驗證動量守恒定律”實驗的深入思考，創新實驗設計，很好地詮釋了實驗教學的真實意義和價值，引領實驗教學從“虛假探究”走向“深入思考和創新設計”。

關鍵詞：動量守恒；深入思考；創新設計

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0056-4

物理學家始終在尋求自然界萬物運動的規律，其中包括在多變的世界里找出某些不變量，動量守恒定律即是自然界中一條普遍適用的規律。《普通高中物理課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）》（以下簡稱“新課標”）中對學生提出了這樣的學業要求：“能從理論推導和實驗驗證的角度，理解動量守恒定律，深化對物體之間相互作用的理解……通過對動量守恒定律等內容的學習，認識物理規律的內在一致性和適用范圍，認識到物理研究是建立在觀察和實驗基礎上的一項創造性工作，在研究中必須堅持實事求是的態度”［１］。為引領高中生達成這一學業要求，中學物理教學需認真研讀新課標和教材，并帶領學生走進實驗室，讓實驗真實發生，在動手實踐中形成實事求是的態度，發現真實的問題，在問題解決過程中不斷進行創新和創造。

首先，讓我們一起回到實驗室，來看真實實驗的發生。

1 真實實驗數據記錄及得到的結論

關于“驗證動量守恒定律”實驗，人教版教材中給出了兩種參考案例，一為研究氣墊導軌上滑塊碰撞時的動量守恒；二為研究斜槽末端小球碰撞時的動量守恒。為最大限度地給每個學生提供親自動手操作的機會，我們采用第二種方案研究大小相同、質量不等的鋼球和硬橡膠球在斜槽末端的碰撞。

實驗裝置如圖１所示，將斜槽固定在鐵架臺上，使槽的末端水平。讓質量較大的鋼球（入射小球）從斜槽上滾下，跟放在斜槽末端的硬橡膠球（被碰小球）發生正碰。使入射小球從斜槽上某一高度滾下，測出兩球的質量以及它們每次碰撞前后的速度，就可以驗證動量守恒定律。

用天平測量出兩小球的質量，鋼球質量為１７．０ ｇ，硬橡膠球質量為３．０ ｇ。怎樣測量兩球碰撞前后瞬間的速度呢？兩個小球碰撞前后瞬間的速度方向都是水平的，因此，兩球碰撞前后的速度可以利用平拋運動的知識求出。在這個實驗中，也可以不測量速度的具體數值。做平拋運動的小球落到地面，它們下落的高度相同，飛行時間也就相同。因此，小球碰撞后的速度之比就等于它們落地時飛行的水平距離之比。如何記錄小球的拋出點并測量小球飛出的水平距離呢？在槽口末端懸掛鉛垂線，在小球飛出方向的地面上鋪白紙，白紙上面鋪復寫紙以記錄小球落點的位置。鉛垂在地面上的投影點即為小球的拋出點在水平方向的投影。

步驟１：不放被碰小球，將入射小球１從斜槽上某一位置由靜止釋放后水平拋出落到地面上，重復１０次，水平射程記為ＯＰ。

步驟２：將被碰小球２放在斜槽末端口（注意讓小球一半在外，一半在內），使入射小球從斜槽上同一位置由靜止釋放在斜槽末端與被碰球發生碰撞后水平拋出分別落到地面上，重復１０次；入射小球的水平射程記為ＯＭ，被碰小球的水平射程記為ＯＮ。

重復步驟１和步驟２做４次，數據記錄及處理如表1所示。

由上述數據及處理可得出如下結論：

（1）兩球組成的系統碰撞前后動量守恒，相對誤差基本可以控制在５％以內，當釋放點初始高度較小時相對誤差較大（如第４組數據）。

（2）小鋼球與硬橡膠球的碰撞近似為彈性碰撞，損失的機械能很少。恢復系數

e==≈1

（3）碰撞后系統的動量均比碰撞前略增加（見絕對誤差）。

2 由真實實驗數據及結論引發的深入思考

（1）上述實驗中一定要用質量大的鋼球作為入射球嗎？

答案是肯定的。這是由于鋼球與硬橡膠球的碰撞近似為彈性碰撞，當質量大的鋼球碰撞質量較小的硬橡膠球時，碰后兩球均從斜槽末端向前水平拋出，兩球組成的系統受外力沖量的影響很小，實驗數據表明碰撞前后的相對誤差在５％以內，可以很好地驗證動量守恒。

若選用質量小的硬橡膠球作為入射球去碰質量大的鋼球，則碰后會出現“硬橡膠球被彈回斜槽，上滑一段距離后再下滑拋出”的情形。由于斜槽有摩擦，將使得入射球的碰后速度測量值偏小（轉換為水平位移的測量），從而導致兩球碰撞后的動量反而增加，相對誤差超過１０％，誤差太大無法驗證動量守恒。

（2）入射球釋放點的高度應滿足什么條件？

從上述實驗數據可以看出，當入射球初始釋放高度較低時，相對誤差較大，那么要使實驗相對誤差控制在５％以內，入射球釋放點的高度應滿足什么條件呢？

當入射球釋放點的高度過低時，小球在斜槽末端時不會離開軌道，而是以斜槽末端為圓心做一小段圓周運動再離開，斜槽末端對小球將有沿球徑向的作用力Ｆ，如圖２所示。這樣，小球離開末端時的速度不等于碰后瞬間的速度，因此將產生實驗誤差。若要避免上述問題，需滿足的條件是被碰小球碰后在末端恰離開平面，即滿足v≥，其中ｒ為小球的半徑。下面來推證理論上釋放點的高度ｈ和ｒ之間的關系。

設兩球質量分別為ｍ１和ｍ２，入射球從高度h自由釋放，不計一切摩擦阻力。設入射球到達斜槽末端的速度大小為ｖ０，由機械能守恒得

m1gh=mv

由于兩小球的碰撞為彈性碰撞，則有碰撞前后動量守恒和系統機械能守恒

m1v0=m1v+m2v'

mv=mv2+mv' 2

聯立解得

v=v0

又由于v≥

聯立以上幾式解得

h≥

（3）為什么碰撞后系統的動量反而略增加呢？

多次重復實驗均發現，碰撞后系統的動量比碰撞前略增加，這是為什么呢？

我們通過對入射球沿軌道下滑及與被碰球碰撞前后過程進行錄像，并使用手機慢放功能進行觀察，可以發現入射球在與被碰球碰撞前在軌道上基本上處于純滾動狀態（其質心的速度大小等于小球邊緣任一點的速度大小），在碰撞瞬間小球突然受阻質心速度變慢，而其與軌道的切點速度依然不變，即小球與軌道的切點相對軌道向后滑動，因此會受到軌道向前的滑動摩擦力Ｆｆ，如圖３所示。這個摩擦力的沖量使得小球的動量出現了增加的情形。而如果將被碰小球放在斜槽末端的立柱上，可以較好地減小由于相對滑動產生的摩擦力沖量的影響，因此教材的參考案例圖中均建議被碰小球不是直接置于軌道末端，而是放在與軌道末端等高的小立柱上，如圖４所示。

3 驗證動量守恒定律方案的創新設計

上述方案中，小球在槽末端碰撞前后都不可避免要受槽末端給它的摩擦力沖量的影響，有沒有更優的實驗方案呢？讓我們看看科學家是如何研究這一問題的。

早在１７世紀，牛頓、笛卡兒和萊布尼茲等科學家在“追尋守恒量”的偉大思想引導下就進行了關于“運動量度”的爭論。牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中記錄了惠更斯、雷恩等科學家用擺的實驗證實動量守恒定律的裝置和原理，如圖５所示，“擺在最低點的速度大小如同弧的弦，弧在下落中被畫出，是幾何學家習知的一個命題”［２］。

這給我們創新和改良這個實驗方案以莫大的啟發：“可以將碰撞速度大小的測量轉換為擺過的弧的弦的測量”。２０２４年北京卷物理的第１６題以牛頓擺實驗思想為源泉，創新設計實驗的方案，很好地考查了考生的創新能力和創造素養。試題及分析如下。

【２０２４年北京第１６題（３）】 某同學設計了另一種驗證動量守恒定律的實驗方案。如圖６所示，用兩根不可伸長的等長輕繩將兩個半徑相同、質量不等的勻質小球懸掛于等高的Ｏ點和Ｏ＇點，兩點間距等于小球的直徑。將質量較小的小球１向左拉起至Ａ點由靜止釋放，在最低點Ｂ與靜止于Ｃ點的小球２發生正碰。碰后小球１向左反彈至最高點Ａ＇，小球２向右擺動至最高點Ｄ。測得小球１、２的質量分別為ｍ和Ｍ，弦長ＡＢ＝ ｌ１，Ａ＇Ｂ ＝ ｌ２，ＣＤ ＝ ｌ３。

請推導說明，ｍ、Ｍ、ｌ１、ｌ２、ｌ３滿足什么關系即可驗證碰撞前后動量守恒。

【參考解答】 設擺長為Ｒ，小球在Ａ點時輕繩偏離豎直方向的擺角為θ，到達最低點的速度大小為ｖ１。

根據機械能守恒定律mgR（1-cosθ）=mv

又有l=2R2-2R2cosθ=2R2（1-cosθ）

聯立可得v1=l1

同理，可求得碰撞后瞬間兩小球的速度大小與其對應的弦長ｌ２和ｌ３的關系。

綜上，若ｍ、Ｍ、ｌ１、ｌ２、ｌ３滿足ml1=Ml3-ml2，即可驗證碰撞前后動量守恒。

【分析】 １６題的第（３）問為北京物理試題中對學生實驗探究能力考查的至高點，考查遷移創新能力和創造能力，為拔尖創新人才的選拔預設了空間。非常巧妙的是“擺在最低點的速度如同弧的弦”。這一思想與教材常規方案中用位移大小替代速度大小測量有異曲同工之妙。要順利解決這個問題，首先，要求考生走出思維定式（比如，使用小角度下擺時弧長近似等于弦長；或使用單擺振動周期規律去推證速度與弦長的關系等）；其次，要求考生具有扎實的基礎，熟練應用兩大守恒定律——機械能守恒和動量守恒；第三，要求考生具備數理結合思維，發現擺在最低點的速度與其擺過的弦長成正比。數學作為基礎的運算工具，之于物理，猶如機之兩翼，在物理學習和研究過程中非常重要，北京卷物理試題一貫堅持“用數學不唯數學”，不考查數學本身的繁冗復雜運算。推證“擺在最低點的速度與其擺過的弦長成正比”過程中使用的具體的數學方法和路徑很多，可以使用余弦定理，也可以使用倍角公式或射影定理等。本題所用到的余弦定理、射影定理等數學知識和方法都是高中生熟知的且應知應會的數學方法，旨在考查學生應用數學解決物理問題的能力和素養。

本實驗方案的創新設計源于牛頓等科學家的思想，但又較之更簡潔，開拓了學生的視野，激活了學生的思維。同時，要求學生走出日常題海戰術形成的思維定式，鮮明地傳播物理學習刷題不奏效，而重在提升問題解決能力這一思想，很好地發揮了高考試題的科學導向功能。

參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）［Ｓ］．北京：人民教育出版社，２０２０．

［２］牛頓．自然哲學的數學原理［Ｍ］．趙振江，譯.北京：商務印書館，２００３．

（欄目編輯 劉 榮）