基于優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤

摘 要：針對二自由度機械臂的軌跡跟蹤問題，本文提出基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法。分析其動力學方程，從周期性振動、瞬態響應和穩定運動狀態3個角度探討了二自由度機械臂的動態行為表現形式，將軌跡跟蹤轉化為求解二自由度機械臂非線性微分方程。采用約束處理機制改進基本微分進化算法，利用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結構的神經網絡跟蹤二自由度機械臂軌跡。測試結果表明，跟蹤誤差始終保持在0.010 m以內，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對照組相比具有明顯優勢。

關鍵詞：改進微分進化；優化神經網絡；二自由度機械臂；軌跡跟蹤；動力學方程；動態行為表現形式；約束處理機制；MLP結構

中圖分類號：G 254 " " " " " 文獻標志碼：A

二自由度機械臂是一種有2個旋轉關節的機器人，運行特性獨特，其運動學模型相對簡單，由于關節旋轉，其運動學方程是非線性的[1]，對機器人進行精確控制和軌跡跟蹤的難度較高，因此，要完成特定的軌跡（即機器人末端執行器的路徑和速度），須對二自由度機械臂進行精確的軌跡規劃。為了進行精確的軌跡跟蹤，需要高精度的控制器。在實際應用中，除了機械臂自身的因素外，還要考慮環境因素的影響，須結合優化算法、先進的控制策略和傳感器技術，對二自由度機械臂進行精確控制和軌跡跟蹤，還須不斷調整和優化控制策略，以適應各種復雜的工作環境，滿足不同的任務需求。李東民等 [2]提出以模糊滑模反步控制為基礎的機械臂軌跡跟蹤方法， 盧紫超等[3]提出以干擾觀測器為基礎的機械臂軌跡跟蹤方法，它們都在一定程度上提高了跟蹤精度，但是在二自由度機械臂方面存在局限性。

為此，本文提出基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤研究，在對比環境下分析本文設計的軌跡跟蹤方法的性能。

1 二自由度機械臂軌跡跟蹤方法設計

1.1 二自由度機械臂動力學模型構建

二自由度機械臂是1個試驗裝置，其構造簡單、成本低，作為被控對象，它是一個不穩定、多變量、非線性并且強耦合的多輸入、多輸出系統。二自由度機械臂“不穩定”的特性說明在沒有外部干預的情況下，機械臂無法維持其狀態，而是會隨時間產生變化。“多變量”和“非線性”特性說明機械臂運動受到多個因素綜合影響，這些影響之間的關系并非簡單線性關系。“強耦合”說明機械臂的各個部分之間聯系聯系緊密。1個關節運動可能會影響另一個關節運動，甚至可能顯著影響整個機械臂的運動軌跡。這種耦合性要求控制系統能夠全面考慮各個部分之間的相互作用，做出合理的控制決策。從動力學角度進行分析，二自由度機械臂主要由2個連桿組成，每個連桿對應一個轉動關節[4]。由于關節旋轉，因此機械臂在運動過程中會受到動力學效應影響，例如科里奧利力和離心力，這些力會干擾機械臂的運動，影響其精確控制和軌跡跟蹤。由于每個關節都會受到其旋轉范圍的限制，因此這會影響機械臂的整體運動范圍和軌跡跟蹤。在實際操作中，須保證機械臂的關節角在允許的范圍內。在此基礎上，本文利用非線性微分方程分析二自由度機械臂的動態行為表現，主要為關節角度的變化。非線性微分方程是一個包括未知函數及其導數的方程，導數的值取決于函數自身的值。非線性微分方程可以說明二自由度機械臂關節角度的變化率與關節角度以及其他參數有統計學意義。求解這個非線性微分方程，可以得到關節角度隨時間的變化關系。

結合實際需求，這些變化是周期性的振動，也是瞬態的響應，還是穩定的運動狀態[5]。具體表現取決于初始條件、驅動力矩和阻尼等因素。結合上述分析，根據牛頓第二定律和轉動慣量，二自由度機械臂的動力學方程如公式（1）所示。

τ=M（θ）d2θ/dt2+C（θ，dθ/dt）dθ/dt+ G（θ） （1）

式中：τ為關節驅動力矩；M（θ）為二自由度機械臂連桿的質量矩陣，其元素為各連桿的轉動慣量；C（θ，dθ/dt）為科里奧利矩陣，其元素為各連桿的科里奧利力矩；dt為機械臂在t時間內進行動態運動的加速度向量；G（θ）為機械臂連桿θ的重力向量，其元素為各連桿所受的重力矩；t為時間。按照上述方式，利用二階非線性微分方程，描述機械臂在關節驅動力矩作用下的動態行為。將驅動力矩作為輸入，能夠精確地描述機械臂在動態運動過程中的加速度和速度變化。求解這個二階非線性微分方程，可以得到機械臂在給定驅動力矩作用下的運動軌跡。利用這個軌跡，進一步設計控制策略，精確跟蹤機械臂的軌跡。控制策略的目標是調整驅動力矩，使機械臂的實際軌跡與期望軌跡盡可能接近。

結合上文構建的二自由度機械臂動力學模型，本文對二自由度機械臂的動態行為表現形式的劃分結果見表1。

結合表1的分析結果，更準確地預測和控制機械臂的動態行為軌跡，在后續研究中，可以使用合適的方法來求解非線性微分方程，并考慮各種實際因素，例如摩擦力、彈性力和空氣阻力。摩擦力會阻礙機械臂運動，產生阻力，使機械臂運動變緩，速度和加速度變慢。彈性力主要來自關節和連桿的彈性。當機械臂運動時，關節和連桿會發生彈性變形，從而產生彈性力。彈性力可能會改變機械臂的運動軌跡，使其偏離理想軌跡。空氣阻力與機械臂的形狀、速度和運動方向有統計學意義。當機械臂在空氣中運動時，會受到空氣阻力影響，空氣阻力可能會使機械臂的運動軌跡發生偏離，當高速運動時，這種偏離會更明顯。綜合分析這些因素可能會對機械臂實際運動軌跡帶來的影響，最大程度地保證跟蹤結果的可靠性和精準性。

1.2 基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤

結合第1.1節對二自由度機械臂動力學模型的構建結果以及對二自由度機械臂的動態行為表現形式的分析結果，當對其軌跡進行跟蹤時，本文在充分考慮摩擦力、彈性力和空氣阻力因素作用強度的基礎上，利用改進微分進化優化神經網絡求解二自由度機械臂非線性微分方程。微分進化是一種全局優化算法，利用種群搜索的方式尋找最優解。為了提高搜索效率和精度，改進微分進化算法，增加了多樣性的保持機制、自適應調整交叉和變異算子的參數等。

微分進化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）是一種基于群體的隨機優化算法，本文主要利用其解決實際參數優化問題。引入約束處理機制改進基本微分進化算法，保證搜索過程不偏離可行解區域，提高算法的實用性和可靠性，如公式（2）所示。

?d=u（γ）q " " " " " " " （2）

式中：?d為對神經網絡中神經元參數的調整幅度；u（γ）為機械臂對應的矩陣關系；γ為關節空間中的各關節轉動的角度；q為當前關節的狀態向量。結合神經網絡與微分進化算法，利用神經網絡求解非線性微分方程。神經網絡是一種強大的非線性映射工具，能夠逼近任何非線性函數。采用多層感知器作為神經網絡的結構，輸入層包括關節角度和時間等信息，輸出層為控制信號。訓練神經網絡能夠找到最佳的權重和閾值，使神經網絡的輸出盡可能地接近期望軌跡。

這樣的改進措施使改進的微分進化算法能夠更好地處理復雜、非線性、高維度和大規模的二自由度機械臂非線性微分方程求解問題。

在此基礎上，利用優化后的神經網絡求解二自由度機械臂的非線性微分方程并確定其軌跡，具體操作步驟如下。

步驟一：明確求解的問題是一個二自由度機械臂的運動軌跡問題。目標是找到滿足給定初始條件和邊界條件的機械臂軌跡。

步驟二：收集歷史數據，包括不同時刻的關節角度、關節速度、關節加速度和驅動力矩等。

步驟三：設計合適的神經網絡結構。由于跟蹤機械臂為二自由度結構形式，涉及2個連桿和2個關節角度的分析，因此，本文采用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結構。其中，輸入層的節點數應與輸入特征的數量相匹配。使用改進的微分進化算法對神經網絡進行優化，不斷調整神經網絡的參數，逐漸逼近最優解，即最佳的控制信號序列。二自由度機械臂輸入層包括關節角度（θ1、θ2）和時間t，因此，輸入層節點數為3。

根據經驗或試驗來確定隱藏層的節點數。增加隱藏層節點數可以提高模型的復雜性和擬合能力，也可能導致過擬合。本文設置隱藏層主要為Sigmoid激活函數，如公式（3）所示。

（3）

式中：f（t）為激活函數；p、pi分別為目標二自由度機械臂狀態特征與輸入特征。

輸出層的節點數應與問題的目標數量相匹配。在本文研究中，步驟一已經明確了目標是二自由度機械臂的運動軌跡，預測關節加速度或角度變化率，因此輸出層節點數為1或2。

步驟四：使用收集的數據訓練神經網絡。本文使用梯度下降法，不斷迭代更新網絡的偏置，神經網絡能夠學習非線性微分方程的解，如公式（4）所示。

（4）

式中：G（t）為非線性微分方程的解；e為神經網路的偏置；τ（θ，t）為二自由度機械臂連桿θ在t時間內運動的動力學方程；[τ，τ（θ，t）]為二自由度機械臂連桿動力學方程的集合。步驟五：在神經網絡訓練完成并驗證有效的前提下，使用其跟蹤二自由度機械臂的軌跡。輸入初始條件（例如初始關節角度和速度），神經網絡將輸出預測的關節角度變化，形成軌跡。

基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法具有許多優點。首先，它能夠處理復雜的非線性問題，在機械臂的運動控制過程中，由于機械臂的動力學特性和外部環境的復雜性，經常需要面對各種非線性的挑戰。改進微分進化優化神經網絡的非線性映射能力十分強大，能夠精確地模擬和預測這些非線性關系，從而顯著提高軌跡跟蹤的精度和穩定性。其次，它結合了神經網絡的非線性映射能力和微分進化算法的全局搜索能力，形成了一種優勢互補的組合。神經網絡具有強大的學習和逼近能力，微分進化算法擅長在復雜的搜索空間中尋找全局最優解。結合這2種技術，該方法能夠在軌跡跟蹤過程中自動調整和優化控制參數，以適應不同的工作環境，滿足不同的任務需求。最后，基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法具有強大的泛化能力，它可以應用于其他類型的機器人系統，無論是多自由度機械臂、移動機器人還是無人機等復雜系統，該方法都能夠提供有效的解決方案，進行高精度的軌跡跟蹤和控制，具有廣泛的應用前景。

2 測試與分析

2.1 測試準備

本文以Kinova超輕型機器人系列中最新、最緊湊的成員——Gen3 lite作為測試對象。Gen3 lite機械臂各關節集成了的無刷直流電機，結構緊湊。每個關節都可以獨立控制，用戶能夠選擇工具和語言，適用于多種應用場景和環境。作為一款專業級機器人臂，其可以執行光操縱任務，能夠在功能強大的Kinova＆Kortex開放式API軟件上運行，與其他設備協作進行無縫共享編程。以此為基礎，當對Gen3 lite二自由度機械臂軌跡進行跟蹤測試時，分別設置文獻[2]提出的以模糊滑模反步控制為基礎的機械臂軌跡跟蹤方法、文獻[3]提出的以干擾觀測器為基礎的機械臂軌跡跟蹤方法以及本文提出的基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法，在相同環境下進行對比測試。

2.2 測試結果與分析

在上述測試環境中，分別采用3種方法對連續10 s內Gen3 lite二自由度機械臂軌跡進行跟蹤，并統計具體跟蹤誤差，測試結果如圖1所示。

從圖1可以看出，3種不同軌跡的跟蹤方法對應的誤差情況出現了明顯差異。使用文獻[2]方法，整體跟蹤誤差波動較為明顯，在測試過程中，時間誤差基本控制在0.010 m以內，最大誤差達到0.025 m，在接近停止移動階段（測試時間的9 s～10 s），對應的跟蹤誤差穩定在0.005 m以內，說明該方法的收斂性存在進一步提升的空間。使用文獻[3]方法，雖然整體跟蹤誤差相對穩定[6]，未出現較為突出的誤差，但是對應的誤差為0.010 m～0.015 m，說明該方法的跟蹤精度存在進一步優化的空間[7]。使用本文方法，不僅未出現較為突出的誤差，而且整體跟蹤誤差始終lt;0.010 m，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對照組相比優勢明顯。根據上述測試結果可以得出結論，本文提出的基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法可以進行精準跟蹤，實際應用價值很高。

3 結語

隨著工業4.0時代到來和智能制造技術的發展，工業制造領域對機械臂的軌跡跟蹤精度和響應速度要求越來越高。為了滿足這些需求，必須不斷研究和改進軌跡跟蹤技術。本文提出基于改進微分進化優化神經網絡的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法，精準跟蹤二自由度機械臂軌跡。在工業自動化生產線上，機械臂能夠更精確地完成各種任務，提高效率。對一些高精度、高要求的制造任務來說，例如電子器件裝配、藥品生產等，機械臂能夠提高軌跡跟蹤精度，提升產品質量。軌跡跟蹤技術涉及多個領域，包括機器人學、控制理論和計算機視覺等，本文研究能夠推動機器人技術發展，促進相關學科交叉融合。

參考文獻

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