粒子布局數反轉在非經典量子系統中的分析

摘 要：本文主要研究了特殊中間態場NCS態和Glauber-Lanchs態光場分別與Λ型三能級原子構建的新量子場態模型。通過全量子理論，確定了系統態矢并求解分析了全新量子系統的粒子布局數反轉的量子特性。利用函數和概率差的方法，得到了系統粒子布局數反轉的表達式結果。研究發現，調節熱平均光子數n、躍遷光子數和原子初態參量對系統的粒子布局數反轉特性有影響，以上參量的變化可以改變系統粒子布局數反轉的周期性大小及振動幅度高低，該結果可以為量子信息的理論創新和試驗模擬提供有力的理論參考。

關鍵詞：量子光學；量子通信；糾纏特性；粒子布局數反轉

中圖分類號： O 431" " 文獻標志碼：A

量子光學在量子計算、量子通信[1]、量子傳感和量子技術等領域有廣泛應用，它是一種基于量子力學原理的光學技術。在量子光學試驗中，激光常被用來制備光子的量子態，然后通過光學元件來控制光子的運動和相互作用。然而，激光的產生前提是粒子數反轉，粒子數反轉是非經典量子特性之一，與其他量子特性[2]如量子糾纏[3]等一樣具有十分重要的作用和研究價值。以往的研究多集中在典型輻射場與二能級原子間相互作用系統的相關量子特性上，在實際應用中，三能級原子系統在信息表達等方面與二能級原子系統相比有更多優勢。考慮到其與中間量子態場相互作用的量子特性更具有實際意義，因此，本文主要考慮構建新的量子系統，即典型中間態場NCS態和Glauber-Lachs態分別與多能級原子中比較有代表性的Λ型三能級原子相互作用。考慮原子初態處于低能級狀態，在躍遷過程中，當高能級原子向低能級原子躍遷時，與疊加態光場處在中間態所組成的量子系統，在不同參數調制下，對粒子布局數反轉的分布狀態特性進行分析。

1 理論模型的構建

量子通信是利用量子疊加態和糾纏效應進行信息傳遞的新型通信方式。量子力學計算的信息在傳遞過程中會產生密鑰，對信息進行加密和解密并采用量子糾纏效應進行密鑰分發。量子力學的不確定性、測量坍縮和不可克隆三大原理提供了無法被竊聽和被破解的絕對安全性保障。

量子通信技術[3]在研發過程中，主要分為量子隱形傳態和量子密鑰分發。需要突破的2個難題分別為單個光量子的制備技術和探測技術。關于制備單個光量子的技術難題，有專家曾舉了一個非常形象的例子來解釋這一關鍵技術的難度：“1個約為15 W的普通燈泡每秒鐘輻射出的光量子個數可以達到百億億個，想要實現單個光量子的制備就如同在這百億億個光量子發射出來的瞬間捕捉到其中的某一個。”這充分證明了單光子量子的制備難度。另一個難題是單光子的探測。單個光子作為光能量的最小單元，其能量十分渺小，捕捉探測需要高精度儀器設備，因此研發出非常精密和高效的單光子探測技術是目前亟需攻克的難題之一。將這兩項難題克服，即具備了單個光量子的制備和探測的能力后，就可以用來實現安全的量子通信了。

量子信息和量子糾纏的特性保證通信的破解性。在此基礎上，量子通信的優點不僅體現在無條件的安全性和保密性方面，還突出體現在計算能力質的飛躍方面。這就需要研究原子與場所構建的系統中原子間以及原子與系統間的量子糾纏。糾纏粒子數是以指數增大的數量級影響量子計算機的能力。例如“100個粒子的糾纏，每個粒子可以處于‘0’和‘1’的相干疊加態，100個糾纏的粒子就可以同時處于2 100個狀態的疊加態”，這就相當于同時對2 100個數進行操縱。100個粒子的糾纏可以實現2 100個相干疊加態，從而極大地提高了計算能力。如果要精確地控制每個粒子在相互作用過程中的糾纏度、保真度以及信息熵等，這些量子物理量值必須在克服環境干擾的前提下才能完成。

為了貼近生活，不能僅考慮純態的量子光場，更應該以一些非經典疊加場的構建為研究對象，使其為量子光學的理論研究在解決實際問題中發揮其在精密和安全方面的優勢，使光與物質相互作用的量子效應研究成為現實。因此，本文主要對構建的2個具有代表性的中間態與三能級原子的相互作用系統模型進行研究，使其更具有實際意義。

1.1 NCS態光場

NCS態是描述數態與熱光場疊加的中間量子態，它既能揭示數態光場和熱光場的一些性質，又能很好地反映這2種光場形成的中間態的一些獨特性質。

假設腔場最初處于NCS態光場[4-5]，如公式（1）所示。

（1）

式中：（〈〉=）和 N分別為光場的熱平均光子數和數態光

子數；m的取值范圍為0～∞，的取值范圍為m～B；PB m（）為

玻色－愛因斯坦分布，如公式（2）所示。

（2）

式中：NCS態為以數態、熱光場為兩端邊界的中間量子態，能夠很好地描述數態場—熱光場的整個變化過程。當→0時，NCS態退化到數態場，即（→0，N）|N〉〈N|；當N=0時，場態為（，N=0）=（），NCS態即為熱光場。因此，NCS態通過調制數態光子數 N和熱平均光子數，實現中間態與純態的變化，當參數接近限值時，場態接近于數態、熱光場的臨界純態，其是由參數變化來決定的。

1.2 Glauber-Lanchs態光場

Glauber-Lachs態既是一個構造出的量子場態，也是相干態和熱場之間的中間量子態。它表示相干場和熱場的疊加場，因此具有非常特殊且重要的性質，并受到了廣泛關注。相干態的重要性已得到了科學家的一致認可，其在量子光學等領域的應用已十分廣泛。例如，格勞伯（Glauber）等科學家就應用了相干態來處理光場的相干性質和光子統計學，為激光理論奠定了基礎。相干場與真空態和數態場一樣，具有相同的量子振蕩漲落，展現出規則的量子態場特性。熱場與相干態及真空態不同，其雖然是規則的量子態，但是周期是無限大的。然而，Glauber與Lanchs成功地將這2個看似迥異的場態以統一的形式表示為一個疊加態，即Glauber-Lanchs態。這種場態的量子特性更具研究和挖掘價值，因其特殊性而備受矚目。本文利用全量子理論，深入研究了Glauber-Lanchs光場與Λ型三能級原子相互作用系統的量子效應[8]，并對研究結果進行分析。本研究建立了Glauber-Lachs態光場場模。

假設初始時刻（t=0）光場處于Glauber-Lachs態光場[8]，如公式（3）所示。

（3）

式中：為系統初始時刻的密度算符；Puv為概率分布；|u〉和〈v|分別為坐標本征態和動量本征態，" 當ugt;v時，其表達形式如公式（4）所示。

（4）

當ult;v時，Puv=Puv*共軛 。

式中：v！為動量變量的階乘；u！為本征量的階乘；Nv為光子

數的動量本征指數倍；αu-v為平均光子的指數倍；Lvu-v為變量的拉蓋爾計算；信號參量|α|2為光場的相干平均光子數；噪聲N為光場的熱平均光子數，信號與噪聲的制衡可以調制光場的狀態為中間態還是純態。當N=0時，場的概率分布如公式（5）所示。

（5）

式中：αu為光子產生算符；α*v為光子湮滅算符。

相干態的概率分布及Glauber-Lachs態演變成相干態；當|α|2=0時，如公式（6）所示。

（6）

此時，Puv分布為熱場的概率分布，表明Glauber-Lachs態已達到臨界純態，即熱場態。經過分析發現，這個態是介于相干態和熱場態的中間量子態。通過調整相干平均光子數和熱平均光子數，可以使其接近于邊界純態。

1.3 原子

Λ型三能級原子的結構如圖1所示，在偶極旋波近似和相互作用繪景下，系統的哈密頓量可以表示為（?=1），如公式（7）所示。

H1=?g（|c〉〈b|+|c〉〈a|）+?g（|b〉〈c|+|a〉〈c|）+?Δ（|b〉〈b|-|a〉〈a|）" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " nbsp; "（7）" 式中：H1為哈密頓量；?為約化普朗克常數；Δ為能級失協量；、分別為光場的湮滅與產生算符； g為原子—場耦合系數；|u〉〈v|（u、v=a、b、c，u≠v）（a、b、c分別為原子所處的3個能級，u、v為原子隨機所處的能級，u、v=a、b、c）為能級K的布局算符。

這里主要考慮在偶極近似和旋波近似下與能級失協量為Δ、頻率為ω的單模光場相互作用，上能級|c〉，下能級|a〉、|b〉之間單光子躍遷禁戒。

2 粒子布局數反轉

激光可以通過受激輻射、自發輻射和受激吸收產生。以上3種方式成功的前提是實現光放大，這就要求系統中的原子從高能級躍遷到低能級的數量滿足一定的要求，即高能級的粒子布局數大于低能級的粒子布局數。當處于二能級、三能級的原子受激輻射躍遷到低能級時，在此過程中便會產生激光，從而實現光放大，這就是激光器產生激光的原理。在整個激發過程中，要使高能級的布局數大于低能級的布局數，即受激輻射占主導地位，這就是粒子數反轉。

粒子數反轉是光場和原子相互作用系統中的一個重要的量子特性，它描述能級間的概率差。隨時間演化的粒子數反轉W（t）如公式（8）所示。

（8）

式中：Tra[ρs（t）]為對原子取跡；Cn（t）、Bn（t）、An（t）分別為在三能級、二能級和低能級上的態矢概率系數。

假設初始時刻（t=0），原子處于初始態和相干疊加態，如公式（9）所示。

|ψA（0）〉=Ca|a〉+Cb|b〉+Cc|c〉" " " " "（9）

式中：Ca、Cb、Cc均為概率振幅。

考慮共振情況（ω=ω0），場初始時刻處于NCS態場，用對原子取跡，即〈a||a〉+〈b||b〉+〈c||c〉，得到場的密度算符，然后對取跡，即通過原子所處不同能級態矢（|a〉、|b〉、|c〉），作用在密度算符，并對場算符取跡。為非初態的原子對場取跡的密度算符；e為光子數，場的態矢作用在場的密度算符。場的密度算符與原子密度算符正交得出系統密度算符。

初始時刻（t=0）系統的密度算符如公式（10）所示。

ρs（0）=ρa（0）⊕ρf（0） " " " " " " " " "（10）

式中：ρa（0）=|φa（0）|，ρa（0）為原子初態的模；|φa（0）|、ρf（0）為光場的初始時刻的密度算符。

因此，通過時間演化算符作用于初始時刻的密度算符，可以得到任意時刻的密度算符ρs（t），然后對其中的原子取跡Tra[ρs（t）]，即得粒子布局數反轉W（t）。

粒子布局數反轉也可用函數來表示，因此，需要確定系統的態矢，并將系統哈密頓量作用在這個態矢上，通過求解薛定諤方程，得出系統態矢的系數，即將Cn（t）、Bn（t）、An（t）代入公式（8）中即可求得。

在系統初始階段，NCS光場是數態與熱光場的疊加態。當n=m時，系統在任意時刻t的態矢如公式（11）所示。

（11）

式中：ψI（t）為隨時間演化的系統態矢；M為光子數；D（t）為為隨時間演化過程中原子處于a能級時的系數。

將公式（7）、公式（11）代入薛定諤方程[6-8]，如公式（12）所示。

（12）

式中：i為虛數單位； h為約化普朗克常數；ΨI為波函數；t為時間；HI為哈密頓。

其中，?=1，通過求解薛定諤方程得出系數Cn（t）、Bn（t）、

An（t），并將系數模方代入公式（8）即得出粒子布局數反轉。

粒子布局數反轉也可用系統的密度算符對原子取跡Tra[ρs（t）]

表示，根據密度算符的求解，假設u=v，那么系統初態如公式（13）所示。

（13）

式中：ρaf（0）為初始時刻原子對場的密度算符；ρf為場密度算符；ρa為原子密度算符；Puv為原子所處不同能級態的概率。

在相互作用繪景中，通過時間演化公式可以得到系統的密度矩陣ρ（t）隨時間演化關系代入公式（8）得到粒子布局數反轉W（t）。量子光學中的原子、場及系統所體現的非經典效應不僅對于理解光場的量子本質有極其重要的參考價值，而且在飛速發展的信息化、量子計算、物聯網、光通信以及密匙密鑰等方面也呈現出潛在的實際應用前景。對粒子布局數反轉等量子特性進行研究，不僅可以提高生產效率和生活水平，還可以為科技發展提供有力的理論數據。

3 結果分析

本文構建了Λ型三能級原子與處于數態場和熱光場疊加的中間態場，即NCS態相互作用系統下的量子系統，確定了原子在初始階段三能級原子疊加的原子態矢和場態處于m=n時的系統態矢演化。一種方法是利用系統哈密頓量H作用在態矢上求解薛定諤方程，確定不同能級時的概率值，可以通過概率的模平方函數求得粒子布局數反轉W（t）。另一種方法是系統的態矢對原子取跡即通過原子能級間的概率差實現粒子布局數反轉W（t）。利用以上2種方法實現粒子布局數反轉發現，影響系統的粒子布局數反轉的分布因素如下：原子初始時刻處于激發態（Ca=Cb=0，Cc=1）或是相干疊加態（），光場熱平均光子數、數態光子數N以及原子與光場的耦合系數g等。當其他物理量恒定時，可以分析粒子布局數反轉的周期振蕩及振動幅值的變化；原子初態為激發態或疊加態其一，改變場模結構參數N或，可以分析粒子布局數反轉的布局數變化趨勢。以上分析可以通過后期圖像模擬呈現，為量子信息領域的相關技術提供參考。

另外，本文主要考慮另一種中間態Glauber-Lachs態與Λ型三能級原子相互作用系統的粒子布局數反轉的分析。在該系統中，影響粒子布局振蕩幅值和頻率的因素主要包括2個方面：一方面與原子所處的初始態有關，另一方面與熱平均光子數和相干平均光子數有關。

4 結論

本文重點分析了中間態場NCS態和Glauber-Lachs態，均為疊加態。以疊加態為研究對象的主要原因是疊加場在光場與物質原子、分子相互作用的過程中可以呈現光場從有序到無序的整個變化過程。量子通信技術具有較高的時效性、較強的抗干擾性、較好的保密性和所需信噪比低等特點。量子計算研究是一項高度復雜的工作，在試驗前期一定要有理論數據的支撐，因此對中間態與實際存在較普遍的三能級原子構建的量子系統研究非常有必要。需要循序漸進對量子保真度、量子糾纏、粒子布局數反轉等特性進行討論，逐步實現階段性目標，為理論—試驗—應用遞進式探究奠定基礎。

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