基于精細積分法的輸電線路故障測距研究

摘 要：為了研究精細積分法在電力線路故障測距中的應用效果，本文先介紹了該方法的基本原理，建立了用于描述傳輸線路數學模型的電報方程，再將二者相結合，形成基于精細積分法的電報方程，用于測量線路故障。在效果檢測環節，利用MATLAB分別建立單相線路和三相線路的故障模型，將龍格庫塔法作為對照組，運用2種測距方法進行仿真試驗。結果顯示，基于精細積分法的故障測距方法在精確性和工作效率方面均優于龍格庫塔法，證明其在輸電線路故障測距中具有較好的實用價值。

關鍵詞：精細積分法；輸電線路；故障測距；仿真分析

中圖分類號：TM 75" " 文獻標志碼：A

在運行過程中，受環境、人員活動以及其他各種因素的綜合影響，輸電線路容易出現各類故障，精確測量故障點與端點的距離是快速恢復供電的基本前提。精細積分法在故障距離測量工作中具有良好的應用潛力，其優點為不受故障類型的影響，因此本文研究該測距方法的應用原理和效果，并對該方法進行推廣。

1 精細積分法的基本原理

1.1 結構力學方程的一階轉化

中國計算力學專家于1995年提出精細積分法故障測距，在實際應用中，該方法顯示出優良的穩定性和精度。精細積分法在電氣工程中的應用始于1997年，可用于求解輸電線路上的電氣參量，如電壓、電流。暫態過程是輸電線路從某個穩定狀態進入另一個穩定狀態所經歷的過程，精細積分法可用于分析該過程的電力數據，其實現原理如下所示。假設存在結構動力學方程，如公式（1）所示。

M'x\"+G'x'+Kx=r（t） （1）

式中：M'為對稱正定質量矩陣；G'為反對稱陀螺力陣和對稱非負阻尼矩陣之和；K為對稱非負的結構剛度矩陣；x為待求位移向量；x'為x的一階導數；x\"為x的二階導數；r（t）為時刻t的外力向量。

結構力學方程為二階方程，而精細積分法主要用于處理一階方程，因此需要對公式（1）進行轉化，將其降為一階方程，轉化后的結果如公式（2）所示。

（2）

式中：X=[x p]T，p=M'x'+G'x/2；，A=-M'-1G'/2，B=G'M'G'-1/4-K，C'=-G'M'-1/2，D為對稱矩陣；F=[0 r]。

1.2 精細積分算法原理

精細積分算法將特定的積分區域劃分為2N份，如果精度仍然不足，可在其基礎上再次進行細分，以獲得更精確的步長。積分區域劃分結束后，以泰勒展開的方式完成求解[1]。一階方程分為齊次方程和非齊次方程，相應的精細積分過程存在一定差異。以非齊次方程的精細積分為例，其計算過程如下。

齊次方程公式（2）中的F≠0，求解時認為在相鄰時刻（tk，tk+1）內，非齊次方程為線性變化，則公式（2）可改寫為公式（3）。

（3）

式中：r0和r1為給定的向量。

將非齊次方程的解記為φ（t-tk），此時非齊次方程中的X如公式（4）所示。

X=φ（t-tk）·[Xk+H-1（r0+H-1r1）]-H-1[r0+H-1r1+r1·（t-tk）] （4）

當時間從t轉化為tk，則X轉化為Xk。進行積分計算時，要求推導出時間從tk變為tk+1時的Xk+1[2]。將時間tk和tk+1的差值記為τ。φ（tk+1-tk）為一個矩陣，將該矩陣記為T，則有φ（tk+1-tk）=φ（τ）=T，于是可推導出Xk+1如公式（5）所示。

Xk+1=T·[Xk+H-1（r0+H-1r1）]-H-1[r0+H-1r1+r1·τ] （5）

2 輸電線路暫態過程精細積分解法

2.1 電報方程

輸電線路暫態分析的重點為電壓和電流，構建傳輸線的數學模型是暫態分析的關鍵環節，通常將電報方程作為傳輸線的數學模型。將輸電線路的長度記為l，其波長為λ。當l和λ的差異較小時（l/λgt;0.1），波長λ對輸電線路上的電壓和電流分布會產生較大影響，電壓、電流的相位和幅值在空間范圍內發生變化。輸電導線本身具有一定的電阻值，電流流經線路時會產生一定的能量損耗。同時，輸電線路上還存在電感、電導和電容等現象。將輸電線路上單位長度的電阻、電感、電容和電導分別記為R、L、C和G，并且這些參數在線路上保持一致[3]。研究電壓、電流在輸電線路上的時空變化，選擇輸電線路上的一個節段，建立該節段上的傳輸線分布參數等效電路，結果如圖1所示。

Δx為線路節段的空間長度。當Δx趨近于無窮小時，模型與實際情況的符合程度越高。i（x，t）表示空間為x、時間為t時的電流強度，i（x+Δx，t）是空間為x+Δx、時間為t時的電流強度。RΔx為無窮小節段Δx上的等效電阻值，LΔx為無窮小節段Δx上的等效電感，CΔx為無窮小節段Δx上的等效電容，GΔx為無窮小節段Δx上的等效電導。當時間為t時，空間x處的電壓值為v（x，t），空間x+Δx處的電壓值為v（x+Δx，t）。v（x，t）和v（x+Δx，t）間的關系如公式（6）所示。

（6）

式中：?i（x，t）/?t為電流對時間的微分。

i（x，t）和i（x+Δx，t）的關系如公式（7）所示。

（7）

式中：為電壓對時間的微分。

在公式（6）、公式（7）中，將i（x+Δx，t）和v（x+Δx，t）分別移動至等式的左邊，并在等式兩邊同時除以Δx。當Δx→0時，可得到電報方程，分別如公式（8）、公式（9）所示。

（8）

（9）

公式（8）和公式（9）反映出電壓、電流在空間x上的分布規律。

2.2 精細積分法的電報方程形式

精細積分法是一種專門用于解決傳輸線上電壓與電流暫態過程的方法。應用此方法時，需要對電報方程的空間坐標進行離散化處理，將其轉化為一個一階常微分方程組。這種離散化處理是通過差分法來實現的，可使電流和電壓的離散化處理更精確、有效[4]。該方法為解決傳輸線上的電壓和電流問題提供了一個有效的工具，其計算過程分別如公式（10）、公式（11）所示。

（10）

（11）

式中：將積分空間進行M等分，k=0，1，2，3，...，M；ik（t）為空間k上對應的電流幅值，ik（t）=i（k·Δx，t）；vk（t）為空間k上對應的電壓幅值，vk（t）=v（k·Δx，t）；vk-1（t）為空間k-1上對應的電壓幅值；ik-1（t）為空間k-1上對應的電流幅值；Δx=l/M。

3 基于精細積分法的輸電線路故障測距仿真

3.1 故障測距原理

精細積分法故障測距通過雙端電氣量進行故障問題求解。雙端電氣量根據輸電線路各端的電壓、電流數據，并參考其他電氣運行參數，經過適當處理后建立測距方程，進而求解出發生故障的位置。這種故障測距方法具有一系列優點，包括不受邊界條件、過渡電阻以及故障類型的影響[5]。所謂“雙端”，指的是輸電線路的首端和末端，計算時需要提出首、末端的電壓、電流數據，并掌握其隨時間變化的規律。計算時，先在空間上對電流和電壓進行差分離散處理，所得結果分別如公式（12）、公式（13）所示。

（12）

（13）

式中：將時間t進行M等分，k=0，1，2，...，M，則有Δt=t/M；ik（x）是時間為第k個Δt、空間為x時的電流幅值，ik（t）=

i（x，kΔt）；vk（x）是時間為第k個Δt、空間為x時的電壓幅值，vk（t）=v（x，kΔt）；ik-1（x）是時間為第k-1個Δt、空間為x處的電流幅值[6]；vk-1（x）是時間為k-1個Δt、空間為x處的電壓幅值。

將公式（12）、公式（13）改寫為矩陣形式，可得dX/dx=HX+F，其中X=（v1，v2，...，vM，i1，i2，...，iM）T。

3.2 基于精細積分法的輸電線路單相故障測距仿真

3.2.1 算例基本參數設置

某輸電線路的總長度為l，M和N分別為線路的2個端點，對應的端電壓和端電流分別為vM、vN、iM和iN，D為該線路上的故障點。發生故障時，將D點的電壓值記為vMD。利用MATLAB軟件建立仿真模型，將輸電線路兩端的電壓設置為500kV，其長度l=150km，單位長度電阻為R=0.0193Ω/km，單位長度上的電容C=0.0144μF/km，單位長度上的電感L=0.848mH/km，電導G取值為0。進行空間間隔劃分時，進行150等分，則有Δx=1km。

3.2.2 仿真結果

在仿真分析過程中，為了確保結果的準確性和可靠性，本文將龍格庫塔法（一種高精度的單步算法）作為精細積分法的對照組。這種方法在輸電線路故障模型的故障測距中具有廣泛應用，并且已經得到業界認可。

為了全面探討故障測距的精度和效果，本文將接地電阻設置為3個級別，分別為5Ω、10Ω和15Ω。這3種電阻值代表不同的土壤電阻率，可以模擬不同環境下的輸電線路故障情況。同時將故障點分別設置為10km、50km、100km和130km共4個距離，以覆蓋各種可能的線路長度和故障發生位置。

精細積分法和龍格庫塔法故障測距結果比較見表1。從數據可知，此次單相線路故障測距共計12組模擬試驗，比較測距誤差，精細積分法在9組仿真試驗中精度更高，僅在3組試驗中略低于龍格庫塔法，說明精細積分法具有優異的測距精度。

3.3 基于精細積分法的傳輸線路三相故障測距

3.3.1 算例基本參數設置

在三相傳輸線路中，A相和B相線路完全相同，C相線路與另外2相存在差異。單位長度線路的基本參數見表2。線路總長度為150km，對線路進行150等分，單位長度Δx=1km，接地電阻設置為5Ω、10Ω和15Ω，故障點設置在10km、15km、100km和130km處，仿真過程的采樣頻率設置為10kHz。

3.3.2 仿真結果分析

在三相傳輸線路故障測距模擬中，故障類型分為單相接地短路、兩相接地短路、三相接地短路3種情況，ABC三相線路接地短路故障測距結果見表3。比較2種故障測距方法的誤差，在12組仿真試驗中，精細積分法在8組試驗中誤差更低，在4組試驗中低于龍格庫塔法。比較2種方法的故障測距時間，精細積分法在12組仿真試驗中均占據優勢，說明該方法的測距耗時全面低于龍格庫塔法，因此效率更高。

4 結語

本文對精細積分法的原理進行了全面、深入的分析，并緊密結合傳輸線路的數學模型，構建了基于精細微分法的電報方程。該方法可用于精確測量輸電線路上的故障距離，為電力系統的故障排查和修復提供了有力支持。在MATLAB仿真試驗中，本文將龍格庫塔法作為精細積分法的對照組，客觀評估了2種方法的性能。在仿真環境中，針對相同的故障線路，分別運用這2種方法進行檢測。

試驗結果顯示，精細積分法在測量精度和測量速度方面均具有優越性能，明顯優于廣泛使用的龍格庫塔法。具體來說，精細積分法能夠更準確地定位故障點，并在更短的時間內完成測量，可顯著提升實際操作中的效率并縮小誤差。精細積分法的出色表現，得益于其獨特的算法設計和理論依據。該方法采用離散化的處理方式，將連續的微分方程轉化為離散的差分方程，從而在保證精度的前提下，提高了計算效率。此外，精細積分法還具有適用范圍廣、穩定性強等優點，因此該方法具有較好的實用價值和應用前景。

參考文獻

[1]戴志輝，邱曉璇.基于零空間追蹤的混合三端直流輸電線路故障測距方法[J].電氣應用，2023，42（10）：69-70.

[2]韓學軍，耿鵬.融合故障錄波和保護動作的輸電線路遷移學習故障分析及定位[J].電子器件，2023，46（2）：105-106.

[3]李策，王肖.基于離散小波變換的輸電線路故障精準定位[J].計算機測量與控制，2023，31（1）：22-23.

[4]楊玉萍，吳浩，田海鵬，等.高壓直流輸電線路單端智能故障定位方法[J].電力系統及其自動化學報，2023，35（9）：201-202.

[5]費彬，毛曉波.高壓輸電線路單相接地故障自動定位技術研究[J].自動化應用，2022（9）：89-90.

[6]馮驍，劉骉，孫賀，等.基于線路參數估計的輸電線路故障測距[J].吉林大學學報（信息科學版），2022，40（5）：221-222.