電源最大輸出功率問題的討論及應用

摘 要：本文聚焦于電源最大輸出功率的探討，旨在啟迪學生思維，深化學生對物理知識的理解，并提升學生運用該知識解決實際問題的能力。

關鍵詞：最大輸出功率；等效電阻；等效電源

在2019年人教版普通高中教科書物理必修第三冊“電能 能量守恒定律”的章節中，存在一類聚焦于求解電源最大輸出功率及外電路用電器最大功率的題目。這類問題存在多種解決方法，解題時學生需根據具體問題靈活選擇。本文就如何求解電源的最大輸出功率這一問題進行簡要探討。

1 電源最大輸出功率的推導

1.1 第一種情況

當外電路為純電阻電路時，設電源的電動勢為E，內阻為r，外電阻為R，則電源的輸出功率為

P＝I²R＝ER＋r²R＝E²（R＋r）²R＝E²（R－r）²＋4RrR＝E²（R－r）²R＋4r。

由上式可知，當R＝r時，P有最大值，且為Pmax＝E²4r，此時干路電流為I＝E2r。

1.2 第二種情況

當外電路為非純電阻電路時，設電源的電動勢為E，內阻為r，外電壓為U，則電源的輸出功率為

P＝UI＝（E－Ir）I＝－rI²＋EI。

由上式可知，E、r為定值，I為變量，這是一個一元二次方程。由數學知識可知，當I＝E2r時，P有最大值，且為Pmax＝E²4r。

綜上可知，無論是純電阻電路還是非純電阻電路，當I＝E2r時，電源的輸出功率最大，最大值均為Pmax＝E²4r。由推導過程不難發現，第二種情況更具有普遍性，適用于任何電路，第一種情況是第二種情況的特例。由公式Pmax＝E²4r可知，電源的最大輸出功率只與E和r有關，與外電路無關。無論外電路是純電阻電路，還是非純電阻電路，只要電源給定，其最大輸出功率便已確定。需要說明的是，此導出的結論

只

在電源的電動勢和內阻一定、外電阻發生變化的情況下才成立。

根據上述結論，在求解電源的最大輸出功率問題時，無論是純電阻電路，還是非純電阻電路，都滿足相同的規律，這樣就可以把問題統一起來，用同一種方法解決同一類問題。下面，本文將通過實例，分析在不同類型電路中如何運用導出結論求解

電源輸出功率的極值問題。

2 純電阻電路中電源最大輸出功率的應用

2.1 定值電阻與滑動變阻器串聯

例1 如圖1所示，R₂為滑動變阻器，其最大阻值為10Ω；R₁為定值電阻，其阻值為1Ω；電源的電動勢為E＝3 V，內阻為r＝3Ω。

（1）若要求電源的輸出功率最大，則R₂的阻值應為多大？電源的最大輸出功率是多少？

（2）若要求滑動變阻器消耗的功率最大，則R₂的阻值應為多大？滑動變阻器R₂消耗的最大功率是多少？

（3）若要求定值電阻R₁消耗的功率最大，則R₂的阻值應為多大？電阻R₁消耗的最大功率是多少？

【對第（1）問進行解析】

由導出結論可知，在外電路為純電阻電路時，當外電阻等于內阻時，電源的輸出功率最大，即R₁＋R₂＝r，解得R₂＝2Ω，此時電源有最大的輸出功率Pmax＝E²4r＝34W。

【對第（2）問進行解析】

由電路分析可知，當R₂變化時，電流I隨之改變，兩者變化成負相關，根據公式P＝I²R₂無法直接判斷最大功率。本題求解可借用等效電源法，把R₁當作電源內阻的一部分，這樣R₂就是外電路電阻了，此時R₂消耗的最大功率即為等效電源輸出的最大功率。已知等效電源的電動勢為E′＝E，內阻為r′＝r＋R₁。根據導出結論，當R₂＝r′時，即R₂＝4Ω時，滑動變阻器消耗的功率最大，最大值為P′max＝E²4r′＝916W。

【對第（3）問進行解析】

因為R₂是個可變電阻，若本小問也用等效電源法求解，把R₂當作電源內阻的一部分，那么等效電源內阻會發生變化，故不能使用導出結論。

R₁為定值電阻，根據公式P＝I²R₁可知，當通過R₁的電流最大時，它的功率也將達到最大值。由電路分析可知，當R₂＝0時，R₁的電流和功率均為最大值，解得I＝ER₁＋r＝34A，

P″max＝I²R₁＝916W。

2.2 定值電阻與滑動變阻器并聯

例2 如圖2所示，定值電阻為R₀＝2Ω，滑動變阻器R的阻值范圍為0～10Ω，電源的電動勢為E＝2V，內阻為r＝1Ω。

（1）若要R₀消耗的功率最大，則R的阻值為多大？R₀消耗的最大功率是多少？

（2）若要求R消耗的功率最大，則R的阻值為多大？R消耗的最大功率是多少？

（3）若要求電源的輸出功率最大，則R的阻值為多大？電源的最大輸出功率是多少？

【對第（1）問進行解析】

因為R₀為定值電阻，根據公式P＝U²₀R₀可知，當R₀兩端的電壓

（即路端電壓）最大時，R₀消耗的功率最大。由電路分析可知，當R阻值最大時，R₀兩端電壓最大，即R＝10Ω時，R₀消耗的功率最大。求R₀消耗的最大功率具體計算過程如下。

R_總＝R_并＋r＝83Ω，I_總＝ER_總＝34A，U_路＝E－I_總r＝54 V，Pmax＝U²_路R₀＝2532 W。

【對第（2）問進行解析】

本小問的求解可借用等效電源法，即把圖2中虛線所圍部分等效為一個電源。當電源和一定值電阻并聯時，等效電源的電動勢等于該定值電阻兩端的電壓，此時等效電源的電動勢為E′＝R₀R₀＋rE＝43V，內阻為r′＝R₀rR₀＋r＝23Ω。根據導出結論，當R＝r′時，即R＝23Ω時，R上消耗的功率最大，最大值為P′max＝E′²4r′＝43²4×23＝23W。

【對第（3）問進行解析】

根據導出結論，在純電阻電路中，當外電阻等于內阻時，即R_并＝R₀RR₀＋R＝r時，電源輸出功率最大，解得R＝2Ω，P″max＝E²4r＝1W。

2.3 小結

當把定值電阻R₀等效為電源內阻時，根據其與電源的串、并聯的不同，等效電源的處理方法不同，方法如下。

當R₀與電源串聯時，等效內阻是R₀與r的串聯電阻，即r′＝R₀＋r，等效電動勢是當外電路斷開時的路端電壓，即E′＝E。

當R₀與電源并聯時，等效內阻是R₀與r的并聯電阻，即r′＝R₀rR₀＋r，等效電動勢是當外電路斷開時的路端電壓，即E′＝R₀R₀＋rE。

3 非純電阻電路中

電源最大輸出功率的應用

3.1 直流電動機與滑動變阻器并聯

例3 如圖3所示，電源的電動勢為E＝8V，內阻為r＝2Ω，直流電動機的內阻為r₀＝2Ω，當調節滑動變阻器的阻值為R＝10Ω時，電源的輸出功率最大，求此時電動機的機械功率。

【解析】

根據導出結論，無論外電路是純電阻電路還是非純電阻電路，當電源的輸出功率最大時，滿足I_總＝E2r＝2A，此時電動機兩端的電壓為U＝E－Ir＝4V，通過滑動變阻器的電流為I_R＝UR＝0.4A，通過電動機的電流為I＝I_總－I_R＝1.6A，則P_機＝UI－I²r₀＝1.28W。

3.2 直流電動機與滑動變阻器串聯

例4 如圖4所示，甲、乙兩電路具有相同的電源，電動勢為E＝12V，內阻為r＝3Ω。圖甲中定值電阻為R₀＝1Ω，若調節R₁可使電源的輸出功率最大。

圖乙中直流電動機的內阻也為R₀，同樣調節R₂可使電源的輸出功率最大，此時電動機恰好正常工作。

已知電動機的額定輸出功率為P₀＝2W，則R₁和R₂的值為（" ）。

A. 2Ω、2ΩB.nbsp; 2Ω、1.5Ω

C. 1.5Ω、1.5ΩD. 1.5Ω、2Ω

【解析】

由于甲、乙電路具有相同的電源，由導出結論Pmax＝E²4r，I＝E2r可知，兩電路電源具有相同的最大輸出功率Pmax＝12W，輸出功率最大時的電流也相同，均為I＝2A。甲電路為純電阻電路，當電源的輸出功率最大時，滿足R₁＋R₀＝r，解得R₁＝2Ω。乙電路為非純電阻電路，由能量守恒定律有12W＝2W＋I²（R₂＋R₀），解得R₂＝1.5Ω。故本題答案選B。

4 含變壓器的電路中

電源最大輸出功率的應用在含變壓器的電路中，對于求解變壓器輸出端的最大功率問題，在滿足一定條件時，也可用導出結論求解，這里需對變壓器的電路做等效處理，具體推導如下。

如圖5所示，因為U₁I₁＝U₂I₂，U₁∶U₂＝n₁∶n₂，I₁＝U₂I₂U₁＝U₂U₂RU₁＝n₂n₁²U²₁U₁R＝U₁n₁n₂²R，所以有等效電阻R′＝U₁I₁＝n₁n₂²R。

例5 如圖6所示，已知理想變壓器輸入交流電壓為U，原線圈接定值電阻r，副線圈接可變電阻R，原、副線圈匝數分別為n₁、n₂。求當R上消耗的功率最大時，R的阻值多大？此時R消耗的最大功率是多少？

【解析】

本題可用等效電阻法處理，把虛線框內部的電路作為一個整體，其等效電阻為R′＝n₁n₂²R，根據導出結論，當R′＝r，即R＝n₂n₁²r時，R上消耗的功率最大，

最大功率為Pmax＝U²4r。^［1］

5 結語

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》中提到，引導教學更加關注育人目的，更加注重培養學生核心素養，更加強調提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力。^［2］

因此，教師在教學中應著重培養學生的邏輯思維能力和對知識的整理歸納能力，引導學生在解題過程中尋找物理問題的共性，并通過這些共性提煉出解決物理問題的有效方法，實現高效且準確的解題。

在求解電源的最大輸出功率問題時，無論是純電阻電路還是非純電阻電路，都遵循相同的規律；掌握這一規律能夠顯著加快學生的解題速度。然而，值得注意的是，這一規律的應用是有前提條件的，即無論是題目中直接給出的電源還是通過等效變換得到的等效電源，只有在其電動勢和內阻為定值時，才能應用相關結論進行求解。

參考文獻

［1］陳敏.用變壓器等效電阻解答遠距離輸電問題［J］.物理教學，2018，40（7）：69-71．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：前言5.