圓錐曲線中定點問題的題型及解題策略

圓錐曲線中定點問題是高考中的常考題型，常常將直線、圓及圓錐曲線等知識融合在一起，綜合性強、難度大，重點考查數學思想方法的應用，尤其是數學運算、邏輯推理等核心素養．筆者統計了２０１９—２０２４年的高考試題對該考點的考查情況，對此類問題的常規解題策略進行總結，并結合具體試題進行剖析，以期提高學習解決此類問題的能力．

探索性問題具有開放性和發散性，涉及知識與方法范圍廣，對數學能力和數學思想有較高的要求，其常規解題策略是“肯定順推法”，即假設存在，將不確定性問題明確化的同時，增加題目的有效信息．通過對已知信息進行分析比較、整合探究等，達到求解的目的．例３給出了探究的定點的位置信息，讓解題方向更加明晰;例４和例５完全開放，隱藏了探究的定點的所有信息，在求解過程中，均要結合題目條件挖掘隱藏信息，找出與定點相關的有效信息（如例４中定點在x 軸上、例５中直線MN 恒過定點），對學生的直觀想象能力、邏輯推理能力、數學運算能力等都有較高要求．例５的證法２中結合題目中直線AM ，AN 均過定點A（２，１）且AM ⊥AN 的特點，利用“平移齊次化”思想，巧妙構造以過定點A（２，１）的直線斜率為未知數的一元二次方程，結合根與系數的關系找出解題的關鍵信息，大大減少運算量，突破解題“痛點”．

本文系廣東省中小學教師信息技術應用能力提升工程２０專項科研課題?網絡畫板在高中解析幾何教學中的實踐研究?（課題批準號：TSGCKT２０２３１０９）的階段性成果．

（完）