見微知著：代數式中蘊含的數學思想方法

進入“代數式”這一章的學習，我們開始體驗從“算術”到“代數”的飛躍。在學習過程中，我們可以發現算術和代數的聯系與區別，也能逐步感受代數的特點：抽象性、簡潔性、一般性。本章需要掌握的主要概念包括代數式、整式、單項式、多項式、代數式的值、同類項等。同時，我們在研究代數式的相關運算時也離不開數的運算，有些學習經驗可以進行類比遷移。

作為初中數學代數板塊的起始內容，代數式是我們后面研究方程、不等式、整式乘法、分式、二次根式、函數等內容的基礎，起著“統領全文”的作用。而代數式中所蘊含的數學思想方法貫穿我們初中數學學習的始終，需要我們重點關注和深入研究。

分類討論

例1 比較a+b與a-b的大小。

【解析】比較代數式的大小，我們可以采用作差法。（a+b）-（a-b）=2b。其中，b可以取任意值，因此這兩個式子的大小關系不確定，我們需要分三種情況討論：當b＞0時，a+b＞a-b；當b＜0時，a+b＜a-b；當b=0時，a+b=a-b。

比較兩個數的大小，結論是確定的。而代數式中的字母可以取任意值，所以在一般情況下，我們無法直接比較兩個代數式的大小。此時，我們可以先作差，然后對作差的結果進行分類討論，但要注意討論過程中不要出現重復或者遺漏等情況。

整體思想

例2 已知代數式x2-2x+3的值是7，則代數式-4x+2x2的值是 。

【解析】一般情況下，我們需要知道代數式中所含字母的值，然后將其代入代數式求值，比如本例中知道x的值即可。根據已知條件，得x2-2x+3=7。以我們目前的知識儲備無法直接解這個方程，也就無法知道x的具體值。但是我們可以得到x2-2x=4。如果將x2-2x看成一個整體，所求代數式-4x+2x2的值正好是x2-2x的兩倍，所以得到代數式-4x+2x2的值是8。

求代數式的值，我們除了將代數式中所含字母的值代入，還可以根據已知條件進行變形，然后整體代入求值。這就是整體思想的魅力。

猜想歸納

例3 觀察下列關于x的單項式，探究其規律：x，4x3，9x5，16x7，25x9……按照上述規律，第n項是 。

【解析】此類題型考查通過猜想歸納發現所列代數式的規律。我們一般從以下角度觀察：系數、字母、字母的指數，即單項式的各項要素。通過觀察，我們猜想系數為n平方，字母都是x，字母的指數為2n-1，由此我們歸納出第n項為n2x2n-1。

猜想歸納是非常重要的數學思想，對于研究問題、發現規律有著重要的作用。我們要學會在觀察的基礎上發現問題本質，大膽猜想、謹慎歸納、小心論證。

數形結合

例4 如圖1，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊。除陰影A、B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm，則陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（ ）。

<D：＼JR工作＼初中生＼7年級＼11＼王張毅-1.tif>

圖1

A.x-y+5 B.2x+y+5

C.2x-y+5 D.x+y+5

【解析】結合圖形中所蘊含的邊與邊之間的數量關系，我們可以分別表示出A的較短邊長為x-10，陰影B的較短邊長為x-（y-15），然后相加得到所求的兩條邊之和為2x-y+5。故選C。

矩形是溝通代數與幾何的重要橋梁之一。通過代數式對矩形周長和面積的表示，我們可以更加直觀地感受代數式所蘊含的實際意義。在后續學習整式的乘法時，我們能夠更加深切地感受這一點。

數學思想是掌握和運用數學知識的強大工具。在學習數學的過程中，我們應當努力發現并深刻理解這些思想，如分類討論、整體思想、歸納推理、數形結合等。隨著學習的深入，我們還將逐漸接觸到更多數學思想，例如類比推理、問題轉化、從特殊到一般等，這些豐富的思想將為我們的數學學習之旅增添更多色彩。

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）