整合破解策略，思路引導教學

【摘要】與圓有關的陰影部分面積探究教學中，需要解讀中考考查核心，引導學生探索破解策略.整個探究過程建議分為三個階段：階段1，方法講解，模型構建；階段2，實例講解，強化應用；階段3，過程反思，經驗總結.本文針對專題重點進行深入探究，并提出相應的教學建議.

【關鍵詞】圓；面積；構造和差；等積轉化

1 探究綜述

求陰影部分的面積在中考中十分常見，該類問題涉及扇形、弧長、三角形等知識內容，可全面考查學生對圖形的理解，以及數形結合、化歸轉化、模型構建的綜合能力.問題難度適中，解析關鍵是將問題抽象或轉化為規則圖形的面積.

1.1 分步構建

教學中需要指導學生掌握該類問題的破解技巧，生成分步策略，建議分如下四步來構建：

第1步，找圓心，確定弧所對的圓心；

第2步，連半徑，連接圓心與弧上的點；

第3步，確定圓心角的度數，一般沒有提示則為特殊角，可以大膽猜想，嚴謹論證；

第4步，將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積，構建面積模型，利用對應公式求解.

1.2 轉化方法

上述分步構建過程的第4步為解析關鍵，需要將不規則圖形轉化為規則圖形，教學中需要指導學生掌握相應的轉化方法，常見方法有如下三種：

方法1：構造和差法，將不規則圖形面積轉化為規則圖形面積的和或差；

方法2：等積轉化法，通過圖形變換，實現等面積轉換的方法策略，常與圖形運動相結合；

方法3：利用容斥原理，構建圖形面積的組合.

教學探究

對于與圓有關的陰影部分面積問題的專題探究，需要引導學生掌握分步構建策略，靈活使用轉化方法來簡化問題.上述總結了三種特殊的轉化方法，教學中需要深入解讀方法，并結合實例引導學生應用構建.

2 構造和差探究

構造和差法，表層含義為構造面積的和差，教學中需要挖掘其中的方法本質，即從整體上審視不規則圖形，將其視為規則圖形的一部分，則可以通過規則圖形的面積和差來構建，其中隱含了割補思想.

例1 如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，DF=2 3，∠A＝60°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積為 .（結果保留π）

圖1

思路引導 本題目中的陰影部分在平行四邊形的內部，涉及了圓弧，從整體視角來看，可利用規則圖形的和差求解，即S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE.

過程構建 基于上述分析，利用S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE來求解，后續只需分別求解規則圖形的面積即可.

SABCD= AB·DF=6×23=123，

S扇形DAE=60π·AD2360=83π，

S△CBE=12BE·DF=23，

綜合可得S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE=103－83π.

解后評析 上述題目利用的是構造和差求陰影部分的面積，從整體上審視圖形面積，從平行四邊形中剔除扇形、三角形的面積.教學指導的關鍵是理清圖中復合圖形的關系，從中提取規則圖形，再從整體視角構建.

3 等積轉化探究

等積轉化法，即進行等面積轉化的方法策略，教學探究的關鍵是等積轉化實現的途徑.總體上有兩種思路：一是根據面積公式構建等積轉化模型，二是結合圖形運動來轉化.

其中圖形運動轉化有平移轉化、對稱轉化和旋轉轉化三種，均是利用圖形三大運動的“不變”特性.教學中需要引導學生明晰轉化目的再探索轉化方案，即通過圖形運動實現“不規則”向“規則”的過渡.

例2 如圖2所示，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為 .（結果保留π）

圖2

思路引導 圖2中陰影部分可視為是兩部分，即線段AD將其分割為△ADE和圓弧圖形.

教學的關鍵是進行等積轉化構建，引導學生關注其中的△ADE，結合三角形面積公式分析△AOD和△ADE的面積關系，顯然兩者同底等高，則可以將陰影部分的面積轉化為扇形AOD的面積.

過程構建 連接OE，OD，如圖2的虛線所示.因為AC為⊙O的直徑，則∠AEC＝90°.又知AB＝AC，則BE＝CE，即點E是BC的中點.因為點O是AC的中點，則OE是△ABC的中位線，可推知OE∥AB，從而可知S△AOD＝S△ADE，所以S陰影＝S扇形OAD.

通過角度分析，可知∠AOD＝90°，則扇形的面積為S扇形OAD=90π·OA2360=π4，即陰影部分的面積為π4.

解后評析 上述題目利用等積轉化求陰影部分的面積，具體為局部等積轉化的策略，分為三步構建模型：第1步，將陰影部分圖形分割；第2步，結合面積公式對分割的三角形進行等積轉化；第3步，重組圖形，轉化為規則圖形.教學中需要指導學生掌握上述的等積轉化策略，即“分割→等積轉化→重組建模”.

4 容斥原理探究

利用容斥原理同樣可以求解陰影部分的面積，該方法適用于涉及基本圖形重疊的不規則面積求解，模型構建為：兩個基本圖形的面積-被重疊圖形的面積=組合圖形的面積.

教學中需要指導學生關注圖形特點，提取其中的重疊部分，再利用容斥原理來構建.

例3 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧，兩弧分別交AB于點D、E，則圖中陰影部分的面積是 .（結果保留π）

圖3

思路引導 圖3中的陰影部分有兩段圓弧，直接進行面積和差組合不現實.教學中需要引導學生利用容斥原理來分析，關注其中的重疊部分，則陰影部分面積為扇形BCE與扇形ACD的面積之和與Rt△ABC的面積之差.

過程構建 在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，則可求得∠A＝60°，AC=12AB=1，BC=32AB=3.

而陰影部分的面積為S＝S扇形BCE+S扇形ACD-S△ACB=30π·BC2360+60π·AC2360－12AC·BC=5π12－32.

解后評析 上述題目中利用容斥原理來求解陰影部分的面積，教學中需要引導學生關注扇形BCE與扇形ACD的面積的重疊情況，根據重疊部分與三角形的關系來構建模型.容斥模型在理解時存在一定的難度，教學中可以合理作輔助線，利用直觀圖形引導學生思考.

5 教學建議

上述綜合探究了陰影部分面積的破解策略，構建了分步構建方案，以及三種轉化方法.下面結合教學實踐開展教學反思，提出相應的教學建議.

5.1 梳理問題，分步構建

與圓有關的陰影部分面積問題，其特點為綜合了圓、三角形、四邊形等幾何圖形，幾何綜合性較強.教學中需要對常見情形進行梳理，指導學生明晰問題特點，再從題設條件入手來分析處理流程.上述總結了三步構建策略，教學說明中要注意三點：一是關注扇形、圓弧的處理技巧講解；二是關注線段、角度的推導分析；三是圖形拆解的處理方法.教學可以結合具體問題，引導學生按照“條件解讀→分析處理→模型構建→推導計算”的流程來處理問題.

5.2 方法探究，模型構建

上述總結了三大轉化方法，是不規則圖形面積的處理核心策略，教學中建議圍繞三大轉化方法深入探究.需要引導學生關注三點：一是方法的具體含義；二是結合解法構建模型；三是挖掘方法背后的深層內涵，包括方法本質和數學思想.教學時可以結合具體模型，利用模型來直觀講解，如構造和差轉化時，引導學生作輔助線來拆解不規則圖形，從整體視角來思考面積組合關系，進而構建面積模型.

5.3 實例精講，引導思路

“實例講解”是解法教學的關鍵環節，合理引導可以幫助學生強化理解方法.具體教學中不應注重講解的“量”，而忽視“質”，即注意實例精講，引導思路構建.以上述解法探究的實例講解為例，按照“思路引導→過程構建→解后評析”流程來開展，精選問題，首先引導學生分析問題，明確不規則圖形面積的轉化策略，再構建解題過程，解題后進一步引導學生反思，對解題過程與方法進行評析，完成解題的閉環.

5.4 探究拓展，素質提升

解法探究專題教學中，建議教師合理開展變式拓展，指導學生進行思維與能力的強化提升.該環節可以從以下兩個角度進行拓展：一是解法組合拓展，重新整合方法，如面積和差法的組合方式，針對同一問題，探索多種組合求解；二是綜合探究變式，如與三角函數、拋物線、網格等知識相結合.變式探究過程中，需注意思維引導，啟發學生思考，可以合理設置問題，分階段引導，充分鍛煉學生的思維.

6 結語

與圓有關的陰影部分面積問題的教學探究，要關注解題策略的構建，雖然問題相對較為簡單，但具體教學中，應注重方法的解讀與歸納.以學生為課堂探究的主體，引導學生充分思考，以“小問題”的講解，“窺探”類型題的本質，從而透視面積問題的解法.

參考文獻：

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