“數形”引領單元變式，深度復習自然生長

【摘要】要想上好數學復習課，我們可以致力于學生深度復習能力的培養.本文以二次函數圖象性質復習課為例進行深度復習課堂實踐，在實踐中努力營造互助學習、互動對話的生動課堂，緊扣二次函數知識生成的線索，適時適度滲透數形結合的核心思想方法，在構建二次函數知識脈絡的基礎上，精心設置靈活多變的變式題組，實現從“解一題→通一類→會一片”的飛躍，從而奠定學生深度復習的廣度、深度、寬度，提高深度復習的質量和效率，以求最大限度促進學生深度復習能力的自然生長.

【關鍵詞】深度復習；數形結合；二次函數

1 深入思考教學困惑，積極尋求解決途徑

如何提高復習課的學習效率，一直是筆者的教學困惑？

在新課程改革不斷向縱深推進的今天，復習課也要與時俱進，突顯學生的主體地位，積極構建學生深度復習課堂，變“要我復習”為“我要復習”“我能復習”“我會復習”“我愛復習”，促進學生全面地發展，讓學生從知識的系統性去理解知識和技能，構建單元知識網絡，提升數學綜合能力，提高復習效率.

本文利用教師培訓成果匯報的契機，結合二次函數圖象性質進行了全方面的思考，開展了一節以數形結合思想為引領的區級公開復習課，談談如何突顯學生主體地位，緊扣數形結合思想方法這一主線來構建學生深度復習的數學課堂，促進學生深度復習能力的自然生長.

2 深入剖析教學現象，不斷修正教學策略

2.1 體驗數形結合思想，喚醒深度復習的主動性

開始復習時，創設適當的問題情境幫助學生明確復習的方向，一旦學生的復習思維被啟動，深度復習的意識就會強烈，思維就越活躍、越深刻，深度復習的主動性就越明顯.

試講時發現，以一組基礎練習題來開展復習，有幾個弊端：①形式陳舊；②學生對圖象的感知度較低；③體現不了復習課型的特點.

設置一個巧妙的變式題，讓學生掉進預設的教學“陷阱”，從而讓學生深刻地體會到能畫圖、會畫圖、看準圖的重要性，從而初步體驗數形結合思想在二次函數學習中的重要性.

問題1 已知二次函數y=x2+bx-3的圖象經過點A（-1，0）.

（1）這個二次函數的表達式是 ；

（2）這個圖象的頂點坐標是 ；

當x= 時，y有最 值，值為 ；

（3）這個圖象的對稱軸是 ，

與x軸相交的另一交點的坐標是 ；

方程x2-2x-3=0的兩個根是 .

（4）當x為 時，y>0；

當x為 時，y<0；

（5）當-1≤x≤0時，y的取值范圍為 ；

變式題：當-1≤x≤4時，y的取值范圍為 .

2.2 感悟數形結合思想，點燃深度復習的積極性

在二次函數圖形復習時，若單純用數的角度解決問題會顯得繁瑣且低效，若能利用圖形的某些特征，解決起來就會事半功倍，從而讓學生感受到“數”的精確性可以借助“形”的生動性和直觀性來觀察，從單元構建的角度領會到圖形的某些屬性或者特征可以借助“數”的精確性來刻畫，真正感悟數形結合思想，還能幫助學生樹立“我能復習”的信心與勇氣.

設計初稿時發現兩個問題：①題目能體現數形結合的特點，但有點散，不利于學生聚焦數形結合這個核心數學思想；②題目之間比較獨立，不利于學生將二次函數的相關知識板塊化和網絡化.

設計單元變式題組，以復習引入的知識背景設計相關的變式題目，內容涉及二次函數圖象的對稱性、增減性和最值問題，從而幫助學生在進一步領會數形結合思想重要性的同時，形成自己的知識網絡.

問題2 拋物線y=x2-2x-3與坐標軸的交點記為A，B，C，連接AB，BC，AC，得到△ABC，則S△ABC= .

若點D在x軸下方，在拋物線上找一個點D，使得S△ABD= S△ABC，則點D的坐標為 .

反思 改進后的設計可以幫助學生從“以形助數”和“以數解形”的角度感悟數形結合思想，從而激發學生深度復習的積極性，積累解題經驗，也可以增強小組合作交流的氛圍，讓學生感受到團隊的力量，讓學生想復習、樂復習、會復習.

2.3 運用數形結合思想，提高深度復習的綜合性

具體復習時，二次函數復習課應找準知識關鍵點，切合數學思想方法，圍繞關鍵點進行適度的一題多解、多題一解的變式拓展，并實施深度追問，這樣的設計有利于學生自主調動知識來解決問題，更能通過添加新的運動變化問題，激發學生深度復習的內在潛力，達到拓展提升的目的，提升數學素養.

在具體教學實踐中，緊扣數形結合思想為二次函數的復習提供腳手架，一方面以“一圖多變”“一題多解”的方式來設計問題串，以“多題一解”的方式提醒學生觀察問題的變化，從而發現問題的異同點與關聯點，拓寬自主復習的廣度，通過師生的歸納探索，讓學生總結出解決動點問題的一般解題思路，加深自主復習的寬度.

問題3 二次函數y=x2-2x-3的圖象如圖所示.

P為線段BC上的任意一點，設P點的橫坐標為x，則P點的縱坐標是 （用含x的式子表示）.

（1）過點P作x軸的垂線與拋物線交于點F，求線段PF長度的最大值；

（2）M是二次函數圖象的對稱軸與x軸的交點，G是對稱軸與線段BC的交點，在線段BC上是否存在一點P，使得四邊形MGFP是平行四邊形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果P點沿著射線BC繼續運動，還能得到以M，G，F，P為頂點的平行四邊形嗎？若存在，求此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

反思 由定點變為動點，由動點變為動線，由點的位置的變化引起線段長度、圖形形狀的變化，體現了分類討論思想，不僅讓學生直觀感知了數形結合思想，也突出了解決動點問題的思考途徑與注意要點.這樣在幫助學生梳理知識，使之系統化，結構化，熟練掌握能力的同時，體會數學知識的自然生成，深度復習能力的自然生長.

2.4 提煉數形結合思想，增強深度復習的反思力

在深度復習課堂中，應強調學生的反思與歸納，通過構建知識脈絡圖將相關知識結構化、系統化，讓學生對知識的認識更全面，理解更深入，體會更深刻，讓學生在反思總結中提升元認知能力.為此，在本課中，引導學生思考如下幾個問題：本節課是以怎樣的知識脈絡展開復習的？用到了哪些數學思想方法？你積累了哪些解題經驗？

反思 我們把本節課的要點歸納為“1個核心思想，2個解題策略，3個函數性質”.1個核心思想——數形結合思想；2個解題策略——函數問題畫好草圖，動點問題先猜想再驗證；3個函數性質——二次函數的增減性、對稱性和最值.

3 提升深度復習能力，實現有效復習教學

深度復習是學生針對所學知識發自內心的真實的復習活動，在復習課上，教師應該尊重學生自主復習、交流感受、創新思維的學習需求，讓學生最大限度地敞開心扉，并通過教師的引導和點撥，激活學生的思維，并以開放性問題為載體，以知識形成過程為線索，以思想方法來立意，發展思維，提升能力.

3.1 建構知識結構，奠定深度復習基礎

復習時，如何真正實現把書本從厚讀到薄，怎么更好地建構單元知識結構，開展深度復習？

二次函數圖象有很多相關知識，要精準地找到知識之間的內在練習，找準知識生成的線索，準確地建構起知識脈絡，通過對數形結合思想梳理和思考，本節課的知識脈絡、知識層次、數學思想方法就躍然紙上，教師就能較輕松地掌握本節課的教學重點和難點，找準學生知識的生長點，為后繼開展深度復習奠定基礎.

3.2 設計變式題組，拓寬深度復習空間

課例緊扣課本第47頁的一道變式習題來進行變式教學，以問題串的形式逐步順勢延伸、拓展，將零散的知識通過一條主線有效地串聯，優化了知識結構，加速了思維的進程，也拓寬了學生復習的寬度、廣度和深度.此外在具體教學時，通過“一題多變”“多題一法”“一圖多用”的方式引導學生進行點動、線動、圖動等動點變化問題的有效探究，能讓學生在更廣闊的自主復習空間中實現自主探究，循序漸進，拓展開闊學生的數學思維，找到解決問題的通性通法，提高學習效率.

3.3 突出思想方法，提升深度復習品質

“二次函數”這一章是體現數形結合思想的重要章節，為了讓學生能深刻領會到本節課的知識結構，我以數形結合思想來串聯這章知識，精心設計了以下環節：

第一個環節，在增減性的考查中，學生陷入了直接利用x的取值范圍確定y的取值范圍而出錯的陷阱，讓學生領悟到利用二次函數的圖象與性質時，一定要畫草圖，再看圖，最后才能解決圖形問題的學習經驗，讓學生經歷了一次由數到形的思維提升過程.

第二個環節，為了解決動點問題，引導學生由動點位置變化拓展到特殊線段長度的比較，透過現象看本質，類比探究，把線段長轉化為動點坐標表示，由問題導學，將學生的思維引向解決問題的方向，關注學生了的持續生長，更讓學生感受到了數形結合思想在二次函數中的作用，也使學生經歷的不僅是一個解答過程，更是一種研究問題的方法.

可見，本節二次函數的復習課借助數、式、圖形規律，借助“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，充分鍛煉學生邏輯推理思維，讓學生清晰、有條理地表達自己的思考過程，真正學會、學懂知識，提高數學能力和素養.

3.4 凸顯學生地位，增強深度復習效果

在具體的課題中，我們應該積極推行自主合作探究學習，課堂實施過程中充分體現“自主先行，崇尚生動”，讓學生在自主“回憶、發問、反思”等中求得真知，在“雙基”的學習中生動地感悟數學思想、積累數學活動經驗，感受到數學活動中的探索性和創造性，并獲得了成功的喜悅，激勵了自主探究、合作學習的積極主動性，發展了學習力，也使復習的效果事半功倍.

4 結語

復習并不意味著學習內容的結束，而是會引發更多的新知識，懂得要適時停下來回頭看看曾經經歷的，就能夠繼續引發新的思考，新的思考，開啟新的探索，這就是復習的價值.

上好復習課，要以課本為綱，在系統梳理知識上下功夫.只有學生能把握知識點之間的必然聯系，能對課本知識有一個綱領性、系統性的認識就會對知識體系了然于胸.

上好復習課，要以典型問題為抓手，在提高學生解決問題的能力上下功夫.只要教師摸清核心知識和核心思想方法，精心梳理，找到一些典型問題，讓一道題能牽動幾個知識點，加強一題多變、一題多解、多題一法的訓練，增加知識點的聯系，擴大知識面，增強應變能力，再通過學生思考、合作、探討，老師精講點評，使學生準確掌握解題思路和方法，最終達到“授之以魚”也“授之以漁”的目的.

上好復習課，要發揮教師主導和學生主體的作用，要在課程改革上下功夫.在具體復習中，教師應讓學生經歷知識網絡的形成過程，并通過小組合作探究的方式區解決問題，從而啟發學生敞開思路，拔高認識，突破難點，總結重點，輕松完成學習目標.

【本文系廣州市教育科學規劃重點課題《指向深度學習的初中數學運算單元教學設計研究》課題編號：202315858；越秀區教育科學規劃課題《“雙減”政策下初中數學智慧運算作業優化設計的策略研究》課題編號：越教類【2022】30號；廣東省中小學教師信息技術應用能力提升工程2.0專項科研課題《基于智慧教學平臺的初中生數學運算能力培養的單元教學設計研究》課題編號：TSGCKT2022005的課題項目階段性成果】

參考文獻：

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