基于深度學習下的課堂教學探究（2）

【摘要】本文致力于深入探索深度學習理論在教授“三角函數的性質”這一數學知識點中的應用.借助詳細的例題解析，闡釋深度學習理論如何引導教學實踐，并有效促進學生對于三角函數性質的深入理解和掌握.通過本研究，期望為數學教育領域帶來新的視角和啟示，推動教學方法的創新和優化，進而提升學生的學習效果.

【關鍵詞】深度學習；初中數學；課堂教學

1 引言

深度學習是機器學習的一個子領域，它利用神經網絡模擬人腦神經元的連接方式，通過逐層傳遞信息來處理大量數據.與傳統的機器學習算法相比，深度學習具有更強的特征提取能力，能夠自動從原始數據中挖掘出有用的信息.這使得深度學習在圖像識別、語音識別、自然語言處理等領域取得了顯著的成果.深度學習理論在數學教育中具有舉足輕重的地位，它注重知識的層次性、結構化和關聯性，為學生提供了一種全面、系統且深入的學習途徑.與傳統的表層學習方式不同，深度學習強調對知識的深入理解和綜合運用，幫助學生建立起完整、穩固的知識體系.本文以“三角函數的性質”為例，詳細分析深度學習理論在數學課堂教學中的應用，并通過實際例題展示其教學效果.

2 例題呈現

例1 定義：sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ，

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ，cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ；例如cos30°=cos60°－30°=cos60°cos30°+sin60°sin30°=12×32+32×12=32.

（1）cos15°=，sin90°=，sin2x=；

（2）定義：tanA=sinAcosA，證明：tan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβ（1－tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）．

解析 （1）cos15°=cos45°－30°=cos45°cos30°

+sin45°sin30°=22×32+22×12=64+24；

sin90°=sin45°+45°=sin45°cos45°+cos45°sin45°=22×22+22×22=12+12=1；

sin2x=sinx+x=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx.

（2）證明 因為tanα+β=sinα+βcosα+β

=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，

tanα+tanβ1－tanαtanβ=sinαcosα+sinβcosβ1－sinαsinβcosαcosβ

=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ

=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，

所以tan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβ．

題目分析 第一問提供新的正余弦三角函數的定義和公式，要求學生自行學習和應用這些公式，利用和差公式求解特殊角的值.這一步驟旨在檢測學生的自主學習能力、對新知識的接受能力和基本運算技能.第二問是對學生深度學習能力的全面考驗.要求學生利用已學的正余弦和差公式以及正切函數的定義，證明正切的和差公式.這一步驟要求學生綜合運用之前的知識和技能，通過推理和計算，完成公式的證明.這不僅是對學生數學知識的考查，更是對其邏輯思維、分析和解決問題能力的全面檢驗.

例2 嘉嘉在某次作業中得到如下結果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245=222+222=1．

據此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．

（1）當α=30°，β=60°時，驗證sin2α+sin2β=1是否成立；

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結合如圖2所示的Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c；若不成立，請舉出一個反例；

（3）利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，cosα之間的關系．

圖2

解析 （1）因為sin30°=12，sin60°=32，

所以sin2α+sin2β=122+322=1，結論成立.

（2）成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，sinβ=bc且a2+b2=c2，

所以sin2α+sin2β=ac2+bc2=a2+b2c2=

c2c2=1，故結論成立.

（3）在Rt△ABC中，sinα=ac，cosα=bc，tanα=ab，

所以tanα=acbc=sinαcosα，

所以tanα=sinαcosα．

題目分析 本題通過三個層次的問題設計，逐步引導學生從特殊到一般，從觀察歸納到邏輯推理，從知識應用到證明技能的培養，有效地促進了學生的深度學習.第一問：題目從特殊角的三角函數關系出發，引導學生觀察、歸納并猜想一般角的互為余角的兩個角的正弦函數關系.這種設計有助于培養學生的觀察力和歸納思維，使他們在探究過程中形成對一般規律的初步認識，還激發了他們的探究欲望和數學猜想能力.學生在第一問的基礎上形成了對一般角互為余角的兩個角的正弦函數關系的猜想，第二問進一步要求學生在直角三角形中利用已知的三角函數定義和性質，對猜想進行證明.這一步驟需要學生運用幾何知識、三角函數定義和邏輯推理能力，將猜想轉化為嚴謹的數學證明.第三問進一步加深了難度，要求學生利用之前的知識和證明技能，證明正切與正余弦之間的同角三角函數關系.這一步不僅是對學生前面所學知識的綜合應用，更是對他們邏輯推理和證明能力的高層次檢驗.

3 結語

通過對初中數學中三角函數典型例題的分析，我們可以清晰地看到深度學習在數學教學中的應用及其對學生學習能力的深遠影響.本文通過例題的分層深入和逐步引導，有效地促進了學生的深度學習.這樣的考題設計不僅考查了學生的數學知識和技能，更重要的是培養了他們的自主學習能力、邏輯推理能力和綜合運用知識的能力，這對于學生數學素養的提升和深度學習習慣的形成具有重要意義.

參考文獻：

［1］丁益民.實施中觀教學促進深度學習［J］.數學通訊，2020（20）：6-8.

［2］林才雄.深度學習視域下的“問題串”設計的教學案例——以“三角函數的概念”為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2023（16）：16-19.