基于波利亞解題理論的實例分析

【摘要】二次函數是初中數學的重要知識點之一，考查了學生的函數思想和抽象思維能力.在二次函數的教學過程中，提高學生關于二次函數問題的解題能力，可以促進他們抽象思維的發展和數學素養的培養.本文將波利亞的解題理念與二次函數教學相結合，將其運用到二次函數問題的解答之中，并列舉實例進行講解，以期提高學生解決二次函數問題的能力.

【關鍵詞】初中數學；波利亞理論；二次函數

1 精細分析條件，擬定合適計劃

在進行二次函數教學時，教師扮演著引導學生、激發解題靈感的角色，幫助學生在題干的已知條件和待求的未知量之間建立聯系.當然，促使學生靈感激發并不是一朝一夕之事，需要學生有豐富的解題經驗和深厚的理論知識.因此，教師在教學過程中，應該不厭其煩地為學生鞏固知識點，并傳授分析問題、解決問題的技巧，引導他們找到明確的解題思路，形成經驗總結.以下題為例.

例1 已知拋物線的解析式為y=x2+bx+c，將其圖象先向上平移2個單位，再向左平移5個單位，最終得到的圖象的解析式為y=x2+4x－5，請問b和c的值是多少？

教師 請認真思考，對于這個問題，大家在解題上有沒有想法分享？

學生1 這個問題考查的是二次函數圖象的平移規律，已知平移后圖象的解析式，以及平移過程，我們可以從“左加右減，上加下減”的角度入手，順向推理，求出原函數平移后的解析式，然后根據系數相等的原則求出b和c的值.

學生2 我同意這個解法，在之前碰到的題目中，題干中都給出了二次函數的具體表達式，以及平移過程，然后要求我們求出平移后的表達式.這個題目雖然原式解析式未知，但是一樣可以用這個方法，我們可以先把原函數看作已知，按照平移規則得到平移后的解析式，然后將系數作等號，求得b和c的值.

教師 非常棒！同學們不僅對這道題的分析非常正確，而且還能聯系到之前遇到過的題目.那么按照剛剛的思路，同學們動手試試看能否解出答案！

……

教師 好，同學們都解完了吧，我們待會兒再核對答案.現在我們再思考一下，這個問題能不能采用逆向思維進行解答.注意，平移后的函數是沒有未知數的.

學生3 可以，題干已給出平移后的函數解析式，將平移過程逆向，可以還原回原函數的表達式，從而求出未知數的值.

教師 舉一反三非常棒！大家試著計算一下，看解得的答案是否一致，另外再看看有沒有新發現.

解題分析 解題思路如圖2所示.

圖2

2 鼓勵學生一題多解，發散學生思維

“條條大路通羅馬”，但每條通往羅馬的道路其通暢程度是各有不同的，解答數學問題也是如此.在解答數學問題時，雖然從不同的角度切入或采用不同的方法最終解得的答案是相同的，但運用不同方法涉及的計算量和邏輯推理的難度是不同的.因此，在教學過程中，教師可以多鼓勵、引導學生嘗試用多種解法去解答一個問題，然后分析比較各種方法的優劣之處，找到一個最佳的解題方法.這樣不僅可以讓學生跳出思維定勢，開拓思維，還可以增加該知識點的廣度和深度.以下題為例.

例2 已知點A3，y1，B－1，y2，C2，y3為二次函數y=3x－22+k圖象上的三個點，請判斷y1、y2、y3的大小關系.

解題分析

解法1 代入法

比較3個未知數的大小，最直接的方法是求出它們的具體值，然后進行比較.這里直接使用代入法將A，B，C三點的橫坐標代入解析式中，可得y1=3+k，y2=27+k，y3=k，雖然求出的值中含有參數，但并不影響大小的比較，可直接得到y2>y1>y3.

解法2 對稱軸法

根據題干給出的表達式可知，該函數圖象的開口向上，且對稱軸為x=2，因為C點恰好是圖象的頂點，所以C點的縱坐標最小，即y3最小；又因為A，B兩點位于對稱軸的兩側，我們可以先畫出二次函數的圖象草圖，如圖3所示，從圖象中可以看出，當一個點離對稱軸水平距離越遠時，其縱坐標的值就越大.根據xA=3－2=1，xB=－1－2=3可知，B點距離對稱軸的水平距離更遠，故B點的縱坐標值最大，即y2>y1>y3.

綜上兩種解題方法，可能對于一些基礎較差的學生而言，首先想到的是第一種解法，即代入A，B，C三點的橫坐標進行求值比較.然而，當問題中涉及較多、較復雜的參數時，可能無法對求得的縱坐標進行直接比較，這種方法便不太適用.因此，教師在教學過程中應該多激勵學生去嘗試用多種方法解題，比如對二次函數的圖象特征進行分析，引導他們從另一個角度去發現問題的本質，掌握更多的解題方法，以期望不論在教學還是在解題中都達到舉一反三的效果.

圖3

3 結語

本文對波利亞解題理念在初中數學二次函數問題中的應用進行探究，旨在提高學生解決二次函數相關問題的能力，并為教師提供一個二次函數教學參考.在教學過程中，教師應當作為引導者，引導學生積極思考，想盡辦法讓學生參與到自己的教學過程中，為問題的提出和解決做出自己的貢獻.

參考文獻：

［1］王文艷.基于波利亞解題思想的初中二次函數教學策略研究［D］.濟南：山東師范大學，2023.

［2］霍云.思維導圖與波利亞解題思想融合的教學實踐研究——以“二次函數”為例［J］.中學數學，2023（18）：25-26.

［3］張素元.基于G·波利亞解題理論的二次函數綜合題探析［J］.中學數學教學參考，2022（29）：42-44.