從無序到有序，構建解題思路

【摘要】在初中數學一次函數的教學規劃中，“動線”問題一直是教師、學生關注的重點，其和函數圖象性質之間存在著十分緊密的聯系.而雙動線問題的解答，更是影響初中學生數學學習效果的關鍵.本文針對一次函數“界點帶雙線”動態解題的過程，進行由淺入深的分析，以期為提升學生動線問題解題精準度提供支持.

【關鍵詞】一次函數；雙動線問題；初中數學

在當前階段的初中一次函數教學中，關于雙動線問題的教學，往往更加注重大量習題的引入，教師片面認為學生僅需“多練”，就能夠提升其解題能力，這對學生思維能力發展、分析探索能力培養等均十分不利.再加上雙動線問題本身屬于一次函數動線問題的“升級”，學生需在解題過程中做好兩條動線的考量，以保證解題質量，這就需要教師做好引導與啟發，以提高學生數學核心素養.

1 觀察界點軌跡，保證有序解題

在一次函數雙動線問題的解答中，界點軌跡的有效觀察，直接關系到解題效率及質量的迅速提升.

例1 如圖1所示，直線y=2x+b經過點A（－1，－4），點B（m，8），其與y軸相交于點G，點P是線段AB上的動點.求：

圖1

（1）求出b、m的值及點G的坐標；

（2）當點P關于坐標軸的對稱點Q落在直線y=－12x－52上時，求點P的坐標.

解析 （1）在直線y=2x+b中代入點A（－1，－4），

可得－2+b=－4，

從而可求出b=－2.

這時直線y=2x－2，而后將點B（m，8）代入其中，可得2m－2=8，從而可求得m=5.

這時令x=0，y=－2，可得點G的坐標為是（0，－2）.

（2）因為點P是線段AB上的動點，

所以設點P坐標為（p，2p－2）.

①當在點P和點Q關于y軸對稱，則可確定點Q的坐標是（－p，2p－2），

將其代入至直線y=－12x－52中，

得出12p－52=2p－2，

由此可得出p=-13.

那么2p－2=－83，

所以P1的坐標為－13，－83.

②當點P和點Q關于x軸對稱，則可確定點Q的坐標是（p，－2p+2），將其代入至y=－12x－52中，

得－12p－52=－2p+2，

由此可得出p=3.

那么2p－2=4，

所以P2的坐標為（3，4）.

2 著重拓展延伸，完善解題思路

基于例1舉一反三，進行題目拓展，提出例2.

例2 過點P作y軸的平行線PE，過點G作x軸的平行線GE，兩條平行線之間相交，相交點為點E.如圖2所示，把△PGE沿著直線PG進行翻折，點E的對應點E′落在x軸上，求點P的坐標.

圖2

解析 如圖2所示，設直線AB與x軸相交于點M，可得出2x－2=0，由此可求得x=1，點M的坐標隨即得出，為（1，0）.而因為GE∥x軸，所以∠EGM=∠E′MG，因為△PGE沿著直線PG進行翻折，能夠得到△PGE′，所以∠EGM=∠E′GM，所以E′MG=∠E′GM，由此可確定E′M=E′G.此時設GE=GE′=E′M=m，在Rt△GE′O中，m2=22+（m－1）2，由此可得出m=52，這就意味著點P的橫坐標值是52，將這一橫坐標值代入至y=2x－2中，求得y=3.由此可得出點P的坐標為52，3.

3 使用關系圖象，直觀展示軌跡

在使用圖象解決一次函數雙動線問題的過程中，也需基于界點軌跡的觀察，完成關系圖象的繪制.在關系圖象繪制完畢后，還需注重應用不同函數關系探明，做好一次函數及關系圖象公共點分析.

例3 在某市實驗小學開展的“青少年科技創新大賽”中，“勇往直前”代表隊設計了一款遙控汽車沿著直線軌道AC做勻速直線運動的模型.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，沿著軌道模型直達C位置，其中B在AC上.而甲車運行速度v1為乙車運行速度v2的1.5倍，設在t（min）之后，兩輛車和B位置的距離分別為d1m，d2m.d1，d2和t之間的函數關系如圖3所示.求：

（1）乙車的速度v2；

（2）寫出d1和t之間的函數關系表達式；

（3）假設甲、乙兩車之間距離在10m以上時，二者之間并不會有信號干擾產生，求在什么時間段內，兩臺遙控車間不會有信號干擾.

圖3

解析 （1）由圖象計算可得乙車的速度v2=120÷3=40m/min；

（2）v1=1.5v2=1.5×40=60m/min，60÷60=1min，由此可得a=1，那么d1=－60t+60，這時0≤t＜1；同時在d1=60t－60的情況下，1≤t≤3；

（3）關于是否產生信號干擾問題的研究，可分為兩種情況，在0≤t＜1的情況下，d2+d1＞10，這就說明－60t+60+40t＞10，即可獲悉0≤t＜2.5，因此可得出，在0≤t＜1時，甲、乙兩車并不會產生信號干擾問題；而在1≤t≤3的情況下，d2－d1＞10，這就說明40t－（60t－60）＞10，即可得出在1≤t＜52時，甲、乙兩車不會有信號干擾情況產生.綜上可得出，在0≤t＜52的時間段內，甲、乙兩車信號不會有相互干擾情況產生.

4 結語

綜上所述，在初中數學一次函數教學工作開展中，學生常常因為題目設置較為復雜，而無法及時探求題干中的函數關系，這就會對學生解題速度、質量的提升造成直接影響.而雙動線問題本身屬于一次函數教學中的重難點，因此，如果學生在此類題目解答中“毫無頭緒”，那么其解題效率則可見一斑.基于這種現實訴求，本文結合一次函數“界點帶雙線”問題的舉例分析與解題方法、步驟闡述，為學生解答雙動線問題提出了更為完整、創新的思路，希望能夠為初中學生后續相關知識學習、相關習題解答提供一定借鑒與建議，并在此基礎之上，助力初中學生數學學習水平的提升.