分析動點運動，解答最值問題

【摘要】與動點有關的最值問題是初中平面幾何問題中的常見題型.解答此類問題要通過明確動點的運動軌跡或者利用一些數學工具如函數、輔助線等將最值問題直觀化、簡單化.一般來說，動點運動最值問題有三種基本的解題方法，本文結合例題談如何利用這三種方法求得最值.

【關鍵詞】動點；最值；初中數學；平面幾何

典例分析

方法1 根據動點的運動軌跡圖象求解

例1 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=3，∠DCA=30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作直角三角形DEF，其中∠DFE=30°，點A、E位于DF的兩側，在點F從點A運動到點C的過程中，CE的最小值為.

圖2

解 如圖2所示，以AD為斜邊作∠DAG=30°的直角三角形ADG，連接EG.

因為DEDF=DGAD=12，∠EDG=∠FDA，

所以△EDG∽△FDA，

則∠DGE=∠DAF=60°.

由此可知動點E在射線GE上運動，其與DG成60°的夾角，

則CE的最小值轉化為點C到該射線的垂線段CH的長度，如圖3所示.

易得AD=3，DG=32，DH=34，

所以CH=94.

圖3

評析 根據作圖求得動點的軌跡后，就可以定量分析最值存在的幾何情況，借助于“兩點之間線段最短”或者一些三角形的性質即可得到最值.

方法2 構造函數求解

例2 如圖4所示，半徑為4的圓O與直線l相切于點A，點P是圓O上的一個動點，點P與點A并不重合，過點P作PB⊥l，垂足為點B，連接PA，則PA－PB的最大值為.

圖4

解 設PA=x，PB=y，

則PA－PB=x－y.

過點A作圓O的直徑AC，過點P作PD⊥AC于點D，連接PC.

則PC⊥PA，AD=PB=y.

由∠PAC=∠DAP，

可得Rt△ACP∽Rt△APD，

所以APAD=ACAP，

即AP2=AD·AC，

所以x2=8y.

所以PA－PB=x－y=x－18x2=－18（x－4）2+2≤2，

當且僅當x=4時取得等號，

所以PA－PB的最大值為2.

評析 通過構造函數的方法，利用了數形結合的數學思想，將幾何問題轉化為了代數問題，從而通過研究函數來研究幾何最值.這種方法對于學生的思維能力有較高要求，關鍵是要能夠構造出表示出幾何量關系的函數.

方法3 利用圖形轉化的方法

例3 如圖5所示，菱形ABCD中∠A=60°，AB=3，圓A和圓B的半徑分別為2和1.P，E，F三點分別是CD，圓A和圓B上的動點，則PE+PF的最小值為.

圖5

解 如圖5所示，作圓B關于CD的對稱圖形圓B′，作點F關于CD的對稱點F′.

連接B′C，B′D，PF′，則由三角形的性質可得PE+PF=PE+PF′≥EF′.

當且僅當P，E，F′三點共線時取到等號.

于是問題就可以變為求圓A與圓B上點E，F′兩點之間距離的最小值.

由題意可知△B′CD是正三角形，邊長為3，且圓A與圓B外切，

則圓A與圓B′之間的距離為3.

由圖5可知，當P，E，F′三點都在線段AB′上，

即當點P與點D重合，E在AD上，點F在BD上時，

PE+PF取得最小值為3.

評析 圖形轉化法是利用特殊幾何圖形如等腰三角形、等邊三角形等將幾何量進行轉化，從而讓問題更加直觀.有時候還要結合平移、旋轉之類的操作來改變圖形的位置.

方法4 特殊值法

例4 平面中有△ABC，AB=3，AC=2BC，求S△ABC的最大值.

圖6

解 如圖6所示，選取x軸上的M，N，y軸上的G，H點.

在線段AB上，令AM=2MB，

因為AC=2BC，所以點C經過點M.

在線段AB的延長線上，

AN=2AB=6.

因為AC=2BC，

所以點C經過點N.

同理可得在y軸上，點C經過G，H兩點，

所以點C的軌跡是經過G，H，M，N四點的圓.

因為AN=6，AM=2，

所以MN=4，即圓的半徑為2.

所以S△ABC的最大值為3.

評析 根據題目條件，利用觀察法，選取適當的特殊點來簡化解題，使過程更為直接.

結語

上述四種方法各有特點，總體上分為代數和幾何兩大方法.如果作圖能力較強，能夠看出幾何圖形之間的關系，使用幾何法則更為快捷、巧妙.而如果沒有解題的思路，則可以嘗試構造函數，利用代數方法求解.