初中數學解題能力的培養

【摘要】探究七年級代數綜合題的解題方法展開分析，培養學生的解題能力，助力學生解題能力的全面發展.

【關鍵詞】初中數學；代數綜合題；解題技巧

1 試題呈現

例1 已知A，B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/小時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續勻速行駛4小時到達B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（小時）之間的函數關系如圖1所示.

（1）m＝，n＝；

（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數關系式；

（3）當乙車到達A地時，求甲車距A地的路程．

圖1

例2 在一場足球練習中，小明從球門前8米的A點出發，將球以一條拋物線的軌跡球朝球門踢去.在這個過程中，球的運動軌跡是一條拋物線，在6米的時候，它到達了一個頂點，這時，這個球離地3米.已經知道了目標高度OB是2.44米，現在以點O為原點建立如圖2所示直角坐標系.

（1）研究拋物線的函數表達式，利用運算（不考慮其他條件）來判定該球是否能夠進入球門；

（2）如果射門路線的形狀和最高高度都是固定的，那么球員需要將球向正后方移出多遠，才能將球踢到距離 O最近的2.25米的地方？

圖2

例3 李大爺在批發市場上買了一種新的水果，一箱10公斤，批發商說，整箱購買，一箱起售，每人一天最多購買10箱.如果只進購1箱的話，那么進貨價格為每公斤8.2元，如果多買一箱，那么每公斤價格下降0.2元；按李大爺的說法，以12元/公斤的價格賣出，一天能賣出一箱；售價每公斤降低0.5元，每天可多賣出一箱.（1）將該果品的批發價格 y （元/公斤）與購買數量x （箱）的函數關系計算出來；（2）如果你想在一天內把所有購進的水果都賣出去，那么李大爺一天要買幾箱這樣的水果能賺到最多的錢？最多能賺到多少錢？

2 解答

例1 解 （1）m=2，n=6

（2）設y=kx+b.將（2，200），（6，440）代入，

得2k+b=2206k+b=440，

解得k=60b=80，

所以y＝60x＋80（2≤x≤6）.

（3）乙車的速度為（440－200）÷2＝120（千米/小時），

所以乙車到達A地所需時間為440÷120＝113（小時），

當x=113時，y=60×113+80=300，

所以甲車距A地的路程為300千米．

例2 解 （1）由題意得拋物線的頂點坐標為（2，3）．

設拋物線表達式為y=a（x－2）2+3，

把點A（8，0）代入得36a＋3＝0，

解得a＝－112，

所以拋物線的函數表達式為y＝－112（x－2）2+3，

當x＝0時，y＝83>2.44，

所以球不能射進球門．

（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝－112（x－2－m）2＋3.

把點（0，2.25）代入，

得2.25＝－112（－2－m）2＋3，

解得m1＝－5（舍去），m2＝1，

所以當時小明應該帶球向正后方移動1米射門．

例3 解 （1）由題意得y＝8.2－0.2（x－1）＝－0.2x＋8.4，

所以批發價y與購進數量x之間函數關系式是y＝－0.2x＋8.4.

（2）設李大爺銷售這種水果每天獲得的利潤為w元，

（3）則w＝［12－0.5（x－1）－y］·10x＝－3x2＋41x.

因為－3<0，對稱軸為直線x＝416，所以當1≤x≤416時，w的值隨x值的增大而增大．

因為x為正整數，所以，當x＝6時，w最大＝138；當416≤x≤10時，w的值隨x值的增大而減小．

因為x為正整數，所以此時，當x＝7時，w最大＝140.因為140>138，

所以李大爺每天應購進這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元．

3 結語

解題能力的培養在數學教學中是一個永恒的話題，對于學生的終身學習具有十分重要的意義.但目前很多教師在教學中往往只重視解題過程中所運用到的數學知識，卻忽視了在解題過程中所涉及的各種問題.特別是在七年級數學教學中，學生對代數知識的掌握不是很好，有些學生在解答綜合題時，不能正確地處理已知條件和所求問題之間的關系，這就造成了學生在解答綜合題時，找不到解題方法，做不到“一題多解”.因此，如何培養學生運用已知條件和所求問題之間的關系來解決問題的能力，是每個教師需要思考和探究的問題.