例析初中數學二次函數綜合問題題型及特點

【摘要】二次函數作為初中數學的重要組成板塊，具有無可比擬的重要地位.對二次函數的綜合性考查是中考必不可缺的題型，結合幾何知識的綜合性二次函數問題十分常見，如線段、角度、面積等綜合性大題.本文主要從二次函數綜合題的不同題型進行分析，以具體例題為載體向學生展示題型特點和解題思路，豐富解題經驗，提高解題準確率.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題技巧

1 線段周長綜合題

與二次函數有關的線段周長問題，一般會考查線段的具體值或最值，解題的關鍵在于運用距離公式d=x1－x22+y1－y22表示有關線段，其中涉及點坐標的假設，此時則與二次函數解析式有一定聯系.若求具體值，則代入數值運算求大小；若求最值，則用一個未知量表示線段或周長，求表達式最值即可.

例1 如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A－1，0，B3，0兩點，與y軸交于點C（0，-3），連接BC，在直線BC下方的拋物線上取一點M，過點M作平行于y軸的直線交BC于點N，求線段MN的最大值.

解析 設直線BC的解析式為y=kx+b，

將B3，0，C0，－3代入解析式中，

可得0=3k+b－3=b，

所以k=1，b=－3，

故直線BC的解析式為y=x－3，

由題意可知拋物線解析式為y=x2-2x-3.

因為MN∥y軸，且點N在直線BC上，點M在拋物線上，

設點Ma，a2－2a－3，點Na，a－3，

MN=a－3－a2－2a－3=－a2+3a，

當a=－32×－1=32時，MN的值最大，

最大值為－a2+3a=－322+3×32=94.

圖2

2 面積綜合題

與二次函數有關的面積綜合問題，通常針對二次函數上的點構成的三角形或四邊形進行考查.這類面積問題的求解，在于根據底面積乘以高公式靈活選擇底和高的表達，通過運算得到具體的面積值.

例2 如圖2，在平面直角坐標系中，二次函數y=－x2+6x－5的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其頂點為P，連接PA，AC，CP，過點C作y軸的垂線l，求△PAC的面積.

解析 由二次函數y=-x2+6x-5的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為P，

A1，0，B5，0，C（0，-5），P（3，4），

設直線PC的解析式為y=kx+b，

則有b=－53k+b=4，

解得k=3b=－5，

所以直線PC的解析式為y=3x－5，

設直線交x軸于點D，如圖2所示，

令y=0，可知x=53，

則點D53，0，

故△PAC的面積為S=12×53－1×4+5=3.

3 角度綜合題

二次函數相關的角度綜合題屬于難度較大的一類問題，角度綜合題通常和相似三角形、全等三角形有一定聯系，故解答二次函數的角度問題還需要靈活構造相似三角形和全等三角形，將角度問題等價轉化為線段長度問題，從而進行進一步的解答.

例3 如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l與拋物線交于A－6，0，D－1，5兩點，點P是直線AD上方拋物線上的一點，設點P的橫坐標為m，過點P作PE⊥AD于點E，連接BC，OP，試探究：在點P運動過程中，是否存在點P，使∠OPE=∠BCO，若存在，請寫出m的值；若不存在，請說明理由.

圖3

解析 由題意可得拋物線的解析式為y=-12x2-52x+3，直線l的解析式為y=x+6.

設點Pm，－12m2－52m+3，OP與AD相交于點F，

則OP的解析式為y=k1x，

所以k1m=－12m2－52m+3，

解得k1=－12m－52m+3m，

所以y=－12m－52+3mx，

聯立得y=－12m－52+3mxy=x+6，

解得x=-12mm2+7m－6，

y=6m2+5m－6m2+7m－6，

所以F－12mm2+7m－6，6m2+5m－6m2+7m－6，

設點Et，t+6，

因為PE⊥AD，

所以PA2=AE2+PE2，

即m+62+－12m2－52m+3－02

=t+62+t+6－02+t－m2+

t+6+12m2+52m－32，

解得t=－m2－3m－64，

所以E－m2－3m－64，－m2－3m+184，

FE=24m2+7m+6·m2+3m－6m2+7m－6，

PE=24m2+7m+6.

因為∠OPE=∠BCO，

∠FEP=∠BOC=90°，

所以△FPE∽△BCO，

即FEPE=BOCO，

當x=0時，y=3；

當y=0時，x=－6或x=1，

所以OB=1，OC=3，

m2+3m－6m2+7m－6=13，

解得m=2（舍去），

m=－10－2，

m=-3，

m=10－2（舍去），

綜上，m=－3或m=－10－2.

4 結語

上述三類不同的二次函數綜合例題分析，分別對線段周長、面積和角度綜合題的特點及其對應解題思路進行分析.其中距離公式、坐標的假設與求解都是需要學生熟練掌握的基本內容，應得到關注與練習.