對一道線段倍數關系問題的解法探究

【摘要】線段倍數關系問題是平面幾何問題中的一類常考題型，涉及知識點多，方法多樣.許多學生在遇到此類問題時常常思路不夠清晰、視野不夠開闊，根本上是對基礎方法掌握不全面，對相應的數學思想理解不夠深刻.本文探究一道典型例題的多視角解法，在方法中體悟解題的關鍵點，幫助學生增強幾何直覺.

【關鍵詞】倍數關系；初中數學；解題技巧

例題呈現

如圖1所示，O是正方形ABCD對角線AC，BD的交點，AF平分∠BAC，交BD于點M，DE⊥AF于點H，分別交AB，AC于點E，G，求證：OG=12BE.

圖2

方法展示

視角1 利用“截長補短”的方法證明

解法1 利用“截長”證明

證明 如圖2所示，作BE的中點N，連接ON.

因為N為BE的中點，O為BD的中點，

所以NO∥ED.

因為AF平分∠BAC，DH⊥AF，

所以△AEG是等腰三角形.

所以EN=OG=12BE.

解法2 利用“補短”證明

證明 如圖3所示，在OC上作ON=OG，連接BN.

圖3

因為ON=OG，OB=OD，

且∠GOD=∠NOB，

所以△GOD≌△NOB，NB∥EG.

因為△AEG是等腰三角形，AE=AG，

所以BE=GN=2OG，即OG=12BE.

評注 將要證明倍數關系的兩條線段構造在同一個等腰三角形中，在此基礎上減去相等線段，得到兩條線段的相等關系，從而得到倍數關系.

視角2 構造中位線證明

解法3 如圖4所示，作ON∥BE，交DE于點N.

因為O是BD的中點，ON∥BE，

所以ON=12BE.

因為△AEG是等腰三角形，

所以∠AEG=∠AGE=∠NGO=∠GNO，

所以NO=OG，OG=12BE.

解法4 如圖5所示，作BN∥GO，交DE的延長線于點N.

因為O是BD的中點，BN∥GO，

所以OG=12BN.

因為△AEG是等腰三角形，AE=AG，

所以∠AEG=∠AGE=∠N=∠NEB.

所以NB=BE，OG=12BE.

圖5

評注 充分利用正方形對角線交點平分對角線的性質，利用中點構造中位線，即可利用中位線的倍數關系得到所求線段之間的倍數關系.同時還要注意發現一些隱藏的中點，合理利用其性質能夠有獨特的效果.

視角3 構造相似證明

解法5 如圖6所示，連接EM.

圖6

因為DE平分∠ADB，AF⊥DE，

且O是正方形ABCD對角線AC，BD的交點，AF平分∠BAC，

所以∠BAF=12∠BAC=22.5°.

因為DH⊥AF，∠BAD=90°，

所以∠FAB=∠EDA=22.5°，

所以∠EDO=12∠ADO=22.5°，

所以DE平分∠ADB.

所以DE為AM的中垂線，AD=DM，AE=EM，

所以∠EAD=∠EMD=90°.

所以GO∥EM，△DOG∽△DME，

所以GOEM=DODM=DOAD=12=22.

因為∠EBM=45°，

所以△EMB是等腰直角三角形，

所以BE=2EM，OG=12BE.

評注 當直接證明兩條線段之間的倍數關系遇到困難時，可以構造第三條線段作為求解倍數關系的中間量，這就需要以三條線段為核心尋找、構造合適的相似三角形，得到線段之間的比例關系，從而解決問題.

視角4 直接計算線段長

解法6 如圖7所示，連接GM，設OG=1.

圖7

因為∠MAO=∠GDO=22.5°，

∠AOM=∠GOD=90°，

AO=OD.

所以△AMO≌△DGO，GO=OM，

GM=2.

因為DE是AM的中垂線，

所以GM=AG=AE=2，

所以AO=2+1，AB=2+2，

BE=2，

所以OG=12BE.

評注 若以上的方法都行不通，則最直接的方法就是通過設參后計算相應線段的長度，從而得到倍數關系.這就需要通過作輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理算出相應線段的長度，即可得到答案.在計算時為了簡化運算，還可以先選擇一條基準線段，長度設為1，再進行運算.

結語

精妙的幾何圖形無論在視覺上還是數學運算上都給人以美的享受.在解答倍數關系問題時，學生首先要學會觀察圖形特征和分析題目已知條件，聯想常用的解題方法，并選擇可行的方法解決問題.教師在教學的過程中要重視一題多解的重要性，通過此方式提升學生思維的廣度和深度，最終達到多解歸一、探尋本質的目標，這樣學生解決問題的能力和學科素養才能全面提高.