初中數學動態幾何問題的解題技巧

【摘要】初中數學動態幾何問題是初中數學中難度最大的問題之一，綜合考查了初中數學的代數問題和幾何問題，不僅要求學生熟練掌握數學基礎知識，而且需要學生靈活選用各種數學知識，如方程、函數、幾何知識等進行計算和推理．本文以構造相似三角形求解動態幾何問題、利用二次函數性質求解動態幾何問題等角度進行闡述，希望能啟發學生思維，提升學生核心素養．

【關鍵詞】初中數學；動態幾何；解題技巧

在初中數學中，動態幾何問題是一種綜合性問題，它涉及幾何、代數、三角形等多方面的知識，需要學生具備較高的思維能力和解題技巧．這類問題通常涉及圖形的運動變化，需要學生根據題目的描述，通過分析、推理和計算，尋找出問題的答案．因此，掌握初中數學動態幾何問題的解題技巧，對于提高學生的數學成績和解決問題的能力具有重要意義．

1 構造相似三角形求解動態幾何問題

例1 如圖1所示，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，E為AB的中點，F為BC上一點，連接EF，作∠GEF=60°且△GEF的面積為33，求DG的最小值．

解析 如圖2所示，連接CE，

因為E是AB的中點，

所以BE=4，

因為四邊形ABCD為菱形，

所以BC=AB=8，

又因為∠B=60°，

所以△BCE為含有30°角的直角三角形，

所以根據勾股定理可得EH=23，

且可得到∠BCE=30°，

因為△GEF面積為33，

所以S△GEF=12EG·EF·sin60°=33，

所以EG·EF=12，

構造△EHF相似于△EGT，可得EFET=EHEG，

因為∠EGT=90°，

所以ET=23

點G在⊙O上運動，

所以r=3，

在Rt△OCD中，OC=33，OD=91，

DG≥OD－OG=91－3，

所以DG的最小值為91－3．

圖1

圖2

評析 本題難度很大，主要考查菱形的性質特點，以及利用直角三角形和勾股定理等構造相似三角形，繼而根據三角形第三邊大于兩邊之差解決問題．重點在于根據乘積一定，構造相似，且利用圓的特性和三角形的性質判定最小值．

2 利用二次函數性質求解動態幾何問題

例2 如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0與x軸交于A－1，0，C4，0兩點，與y軸交于點B．

圖3

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點D是拋物線上的一個動點，滿足△ABD與△BCD的面積相等，求出點D的坐標；

（3）若點E在第一象限內拋物線上，過點E作EF⊥x軸于點F，交BC于點P，且滿足△BFP與△CEP相似，求出點E的橫坐標．

解析 （1）因為拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A－1，0，C4，0兩點，

所以a－b+4=0，16a+4b+4=0，

解得a=－1，b=3，

所以該拋物線的解析式為y=－x2+3x+4.

（2）拋物線y=－x2+3x+4與y軸交于點B，

所以B0，4），

因為點D是拋物線上的一個動點，△ABD與△BCD的面積相等，

所以BD∥AC，所以D點的縱坐標為4，

當y=4時，

即－x2+3x+4=4，

解得x1=0，x2=3，

所以D3，4.

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，

所以b=4，4k+b=0，

解得k=－1，b=4，

所以直線BC的解析式為y=－x+4.

設Fm，0，

則E（m，－m2+3m+4），Pm，－m+4，

因為OB=OC=4，

所以△BOC是等腰直角三角形，

所以∠BCO=45°，

因為EF⊥AC，

所以△CPF是等腰直角三角形，

所以CP=24－m，

所以BP=42－24－m=2m.

①當△BPF∽△CPE時，

則PEPF=PCPB，

所以－m2+3m+4+m－44－m=24－m2m，

解得m=－1±172或m=4，

因為m>0且m≠4，

所以m=－1+172；

②當△BPF∽△EPC時，

則PBPE=PFPC，

所以2m－m2+3m+4+m－4=4－m24－m，

解得m=2或m=0（不合題意舍去），

所以點E的橫坐標為2或－1+172．

評析 本題是關于二次函數的動態幾何綜合問題，主要考查了相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、待定系數法求函數的解析式、三角形的面積公式，分類討論是解題的關鍵．第（1）問中，根據題意列方程組，解方程組得到該拋物線的解析式；第（2）問中，根據點D是拋物線上的一個動點，△ABD與△BCD的面積相等，于是得到BD∥AC，求得D點的縱坐標，解方程即可得到D點的坐標；第（3）問中，設出直線BC的解析式，通過解方程的方法得到直線BC的解析式，設Fm，0，E（m，－m2+3m+4），Pm，－m+4，根據已知條件得到△BOC是等腰直角三角形，△CPF是等腰直角三角形，用m表示出CP和BP的長度，分情況討論，再根據相似三角形的性質解方程即可得到結論．

3 結語

解決初中數學動態幾何問題一般難度都較大，需要認真審題、建立模型、借助輔助線、靈活運用數學知識等方法．通過掌握這些解題技巧，可以提高學生的數學成績和解決問題的能力．同時，在解題過程中要注意細節和準確性，確保解題的正確性．在今后的學習中，教師要有意識地去培養學生處理動態幾何問題的能力，完成為黨育人、為國育才的育人使命．

參考文獻：

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