初中數(shù)學(xué)中圓錐問題難點(diǎn)的求解策略

【摘要】圓錐是初中數(shù)學(xué)中的重要幾何圖形，涉及諸多概念、公式和計(jì)算，對(duì)于學(xué)生來說學(xué)習(xí)存在一定的難度．本文通過對(duì)圓錐的表面積、體積、側(cè)面展開圖及最短長(zhǎng)度等方面的深入分析，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生掌握解題技巧，提高解決圓錐問題的能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圓錐；求解策略

圓錐作為初中數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容，不僅在考試中頻繁出現(xiàn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)［1］．然而，由于圓錐的概念較為抽象，相關(guān)計(jì)算較為復(fù)雜，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到了困難．因此，研究圓錐難點(diǎn)問題的求解策略具有重要的現(xiàn)實(shí)意義．

1 根據(jù)圓錐的三視圖計(jì)算

例1 一個(gè)幾何體的三視圖如圖1所示，則這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為 ．

圖1

解析 設(shè)幾何體側(cè)面展開圖的圓心角為n°，依題意知母線長(zhǎng)為8cm，底面半徑為3cm，

所以2π×3=nπ×8180，

所以n=135，即圓心角為135°.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三視圖的知識(shí)和圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)，由幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，可以判斷這個(gè)幾何體是圓錐，結(jié)合圖形可得出母線及底面半徑，然后根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)等于展開的扇形的弧長(zhǎng)列方程求解即可．

2 根據(jù)展開圖求解最短長(zhǎng)度

例2 如圖2所示為一圓錐及其側(cè)面展開圖，已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，底面半徑為2．

圖2

（1）求圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)；

（2）如果A是底面圓周上的一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到點(diǎn)A，求此繩的最短長(zhǎng)度．

解析 （1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n°，

底面圓的周長(zhǎng)等于2π×2=nπ×6180，

解得n=120，即∠ABC=120°．

（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，如圖3，

所以CD=AD，AC=2AD，

圖3

∠BDA=90°.

因?yàn)橛桑?）得∠ABC=120°，

所以∠ABD=60°.

因?yàn)椤螧DA=90°，

則∠DAB=30°.

由AB=6，

所以BD=3，

所以AD=62－32=33，

所以AC=2AD=63，

即這根繩子的最短長(zhǎng)度是63．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐的幾何性質(zhì)、勾股定理、垂直定理，屬于基礎(chǔ)題．本題第（1）問中，結(jié)合側(cè)面展開圖是以6為半徑，4π為弧長(zhǎng)的扇形，由弧長(zhǎng)公式求圓心角；第（2）問中在側(cè)面展開圖中，由兩點(diǎn)之間線段最短得繩子的最短長(zhǎng)度為AC的距離．

3 根據(jù)圓錐相關(guān)知識(shí)分析材料加工類問題

例3 圖4中的冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖5），制作這種外包裝需要用如圖6所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．已知這種加工材料的頂角∠BAC=90°，圓錐底面圓的直徑DE為5cm．

（1）求圖5中圓錐的母線AE的長(zhǎng)；

（2）求加工材料剩余部分（圖6中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）

解析 （1）根據(jù)題意得π·DE=90·π·AD180，

所以AD=2DE=2×5=10cm，

所以AE=AD=10cm.

（2）因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC，AD⊥BC，

而AD=10cm，

所以BC=2AD=20cm，

所以S陰影部分=S△ABC－S扇形EAF

=12×10×20－90×π×102360

=（100－25π）cm2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了有關(guān)圓錐知識(shí)的計(jì)算．因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖為扇形，而扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)［2］．本題第（1）問中，利用圓錐側(cè)面展開圖為扇形，以及弧長(zhǎng)公式得到π·DE=90·π·AD180，從而求出AD=2DE=10cm，再由AE=AD即可求解；第（2）問中，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD=20cm，再利用扇形的面積公式，利用S陰影部分=S△ABC－S扇形EAF進(jìn)行計(jì)算．

4 培養(yǎng)學(xué)生解決圓錐問題的能力的教學(xué)建議

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐相關(guān)問題對(duì)于學(xué)生來說往往具有一定的挑戰(zhàn)性．為了有效地培養(yǎng)學(xué)生解決圓錐問題的能力，以下是一些教學(xué)建議．

首先，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握．讓學(xué)生清晰地理解圓錐的定義、性質(zhì)和相關(guān)公式，如圓錐的體積公式、表面積公式等．通過直觀的教具、多媒體演示等方式，幫助學(xué)生建立起清晰的幾何概念［3］．

其次，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作．可以讓學(xué)生親手制作圓錐模型，在制作過程中，深入理解圓錐的構(gòu)成和特點(diǎn)．同時(shí)，通過實(shí)際測(cè)量和計(jì)算，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用能力和對(duì)數(shù)據(jù)的敏感度．

最后，設(shè)置多樣化的練習(xí)題．從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步提高難度．練習(xí)題應(yīng)涵蓋不同類型的圓錐問題，如求體積、表面積、與其他幾何體組合的問題等．并且，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試多種解題方法，培養(yǎng)其思維的靈活性．同時(shí)，在教學(xué)中，教師要注重啟發(fā)式教學(xué)．當(dāng)學(xué)生遇到問題時(shí)，不是直接給出答案，而是通過提問引導(dǎo)學(xué)生思考，幫助他們找到解決問題的思路．

5 結(jié)語(yǔ)

圓錐在初中數(shù)學(xué)中具有重要地位，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會(huì)遇到各種難點(diǎn)問題．通過深入理解圓錐的概念、掌握相關(guān)公式、多做練習(xí)題，并培養(yǎng)空間想象力和解題技巧，學(xué)生能夠有效地解決圓錐相關(guān)的難點(diǎn)問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和成績(jī)．同時(shí)，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重方法的引導(dǎo)和思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式．

參考文獻(xiàn)：

［1］張琪.基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究——以“圓錐的側(cè)面積”的教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（17）：60-62+65.

［2］李國(guó)帥.初中數(shù)學(xué)圓錐中的計(jì)算技巧［J］.高中生學(xué)習(xí)（師者），2013（11）：37+4.

［3］許凌燕.初中數(shù)學(xué)教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成——以“圓錐的側(cè)面積”教學(xué)為例［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（04）：1-3+7.