在初中數學解題中數形結合法的運用分析

【摘要】數形結合法在初中數學解題中堪稱一種高效策略，它巧妙地將抽象的數學理念與直觀幾何圖形融合，借助圖形直觀地揭示數學規律.這種方法不僅有助于深化對數學知識的理解，也有助于培養學生的空間想象力和邏輯思維能力.數形結合法涵蓋諸如利用具體數形元素在學前階段激發學生興趣與經驗，以及在課堂教學中創設數形結合情境以加深學生理解等實踐途徑.不僅容易激發學生的興趣，提高思維能力，增強解題技巧，還在教學過程中凸顯了綜合素質教育的導向.

【關鍵詞】初中數學；解題方法；數形結合法

1 借助數形結合思想，解決反比例函數問題

數形結合思想是解決數學中反比例函數問題的高效方法.反比例函數形式為y=kx，k為常數且k≠0，圖象是雙曲線.此法可直觀理解反比例函數性質，并解決復雜問題.

例1 圖1中，直線AB與雙曲線y=kx（k<0）相交于點A和點B，其中點A的坐標為（-2，3），點B的坐標為（m，1）.在直線AB上，選擇一個動點P，使其位于第二象限.從點P引一條直線至原點O，并延長此直線使其與雙曲線再次相交于點C.在點P處，作PD垂直于y軸，垂足為D；在點C處，作CE垂直于x軸，垂足為E.設△POD的面積為S1，△COE的面積為S2.

當不等式S1>S2成立時，求動點P的橫坐標x所在的取值區間.

解析 ①代數法

因為A（-2，3）在y=kx上，所以k=-6.

因為點B（m，1）在y=－6x上，所以m=－6.

因為點A（-2，3），B-6，1在一次函數上，

所以直線AB的解析式為y=12x+4.

設P（a，12a+4），

則S1=12·12a+4·a，

由反比例函數k的幾何性質得S2=3，

圖1

所以12a+4·a＞3.

又因為點P在第二象限，

所以12（12a+4）·（－a）＞3.

在進行題目的解答過程中，我們會發現這是一元二次不等式的問題.然而，在初中數學課程中，學生通常沒有學習解決高次不等式的技巧和方法.因此，當面對這類問題時，學生可能會感到困難并選擇放棄.

②幾何法

因為A-2，3在y=kx上，

所以k=-6， 因為點Bm，1在y=-6x上，

所以m=-6.

在圖1中，OP 線段被延長以至于與反比例函數的圖象相交于點M.從M點向y軸作一條垂線，從而得到交點N.依據反比例函數的中心對稱特征，可以推斷出S2=S△OMN.通過對圖象的分析，可以看出當S1＞S2時，點P落在線段AB 上.因此，可得出結論：為了滿足上述條件，點 P 的 x 坐標應位于區間-6 < x < -2.

2 借助數形結合思想，解決二次函數問題

數形結合思想是將抽象的數學問題具象化，通過幾何圖形直觀反映出來，以幫助解決數學中的問題，尤其在處理二次函數問題時效果顯著.在二次函數的研究中，常借助坐標平面，將函數的性質和圖形特征結合起來考慮.

例2 揚州漆器以藝術價值和精湛工藝聞名，其中一款漆器筆筒成本定價為30元/件.銷量y與單價x之間存在一次函數關系（如圖2）.店主決定每日捐贈150元給“希望工程”，以支持公益事業.為確保捐款后每日純利潤不低于3600元，請確定漆器筆筒銷售單價的范圍.

圖2

解題 考慮到前提條件，可求銷售利潤為W=－10x2+1000x－21000－150.根據商家對于捐贈及保持利潤不低于3600元的要求，可以建立不等式：W≥3600.即－10x2+1000x－21000－150≥3600，但讓初中學生來攻克這個一元二次不等式可謂相當困難，這時，便可以依托對應的二次函數圖象分析，將得知銷售單價x的合理取值范圍應為［x1=45，x2=55］元人民幣.根據圖3顯然45≤x≤55.

圖3

還可以將不等式－10x2+1000x－21000－150≥3600簡化，等式兩邊同時除以x（x＞0），整理后得到－10x+1000≥24750x.為了找到不等式的解集，可以設y1=－10x+1000，y2=24750x，接著分別繪制這兩個函數的圖形.通過觀察圖象（圖4），可以分析一次函數和反比例函數的關系，從而確定不等式的解集.

圖4

參考文獻：

［1］黃麗貞.淺析數形結合思想在初中數學教學中的應用［J］.科學周刊，2022（23）：51-53.

［2］王雪梅.數形結合思想在初中數學課堂教學中的滲透對策分析［N］.山西科技報，2023-10-16（B03）.

［3］王磊.淺談數形結合思想在初中數學教學中的滲透［J］.科幻畫報，2022（07）：222-223.

［4］崔文東.數形結合思想在初中數學解題中的應用研究［J］. 數理天地（初中版），2023（13）：33-34.