代數式中“整式”與“分式”的化簡求值方法探究

【摘要】整式與分式是初中數學的重要知識點.中考對整式與分式的考查形式多樣，學生在處理相應的問題時很容易錯.本文主要針對整式與分式的化簡求值進行探究，具體從整式的化簡求值、分式的化簡求值和整式與分式結合化簡求值三個方面進行方法的探究.

【關鍵詞】整式；分式；初中數學；解題

整式和分式是初中數學最基礎的知識，在考查時題型靈活多變，本文主要針對整式和分式的化簡求值進行方法探究.具體分為整式的化簡求值、分式的化簡求值和整式與分式融合的化簡求值三個方向進行，下面一一展開.

1 整式的化簡求值

整式的化簡求值主要包括加減運算、乘除運算和乘方與開方，其中乘除運算的主要依據有簡便運算、乘法公式和分解因式等，按照相關知識點進行解題即可.

例1 （1）計算：－6+－12024－a2b－1·－2ab32÷a4b5；

（2）先化簡，再求值：a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a，

其中a，b滿足|a+1|+（2b－1）2=0.

解析 （1）原式=6+1－4a4b5÷a4b5=7－4=3.

（2）a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a

=a2－2ab+b2+4a2－b2+ab÷－12a

=5a2－ab÷－12a

=a5a－b÷－12a

=2b－10a.

因為a，b滿足a+1+2b－12=0，

所以a+1=0，2b－1=0，

解得a=－1，b=12.

將a=－1，b=12代入

2b－10a=1－10×－1=11.

評注 題目第一小題是整式情境下的計算問題，涉及絕對值、乘方運算和基本的加減乘除運算.按照相應運算法則進行即可.

第二小題是要求先化簡，再代值進行計算，對a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a進行化簡時，所涉及的有完全平方公式、平方差公式、提+4V6tSVIP7KcJ6JaTQhmAQ==公因式和基本的加減乘除運算，按照相應運算法則進行即可化簡.難點在于根據a+1+2b－12=0計算a，b的值，主要根據a+1+2b－12=0，且a+1≥0，2a－b2≥0，故a+1=0，2b－1=0.基本步驟是：第一步展開，即有括號去括號，平方差公式展開，完全平方式全部打開；第二步合并，進行同類項的合并；第三步是代值進行計算.

2 分式的化簡求值

分式化簡求值與整式一樣，會涉及基本運算中的加減乘除、乘方與開方，同時乘除運算的主要依據有簡便運算、乘法公式和分解因式等，但是分式化簡求值中要特別注意分母的情況.

例2 （1）化簡：1x－1－x+21－x÷x2+3xx－1；

（2）先化簡，再求值：1－2x÷x2－4x+4x2－4－x+4x+2，其中x2+2x－12=0.

解析 （1）原式=1x－1+x+2x－1×x－1x2+3x

=x+3x－1×x－1xx+3

=1xx≠0，x≠－3，x≠1.

（2）1－2x÷x2－4x+4x2－4－x+4x+2

=x－2x÷x－22x－2x+2－x+4x+2

=x－2x÷x－2x+2－x+4x+2

=x+2x－x+4x+2

=x+22－x2－4xxx+2

=4xx+2=4x2+2xx≠0，x≠－2.

因為x2+2x－12=0，

所以x2+2x=12，

所以4x2+2x=412=13.

評注 題目依然設置兩個題，第（1）題是對分子的計算，其中除了加減乘除基本運算，還涉及變號、通分和提公因式.

第（2）題是要求先化簡，再求值，涉及完全平方式、平方差公式以及通分.分式不管是計算還是化簡求值，最基本的思路是“合一”，即多項化一項，遇公式用公式，該通分則通分.基本步驟是：第一步展開，即有括號去括號，平方差公式展開，完全平方式全部打開；第二步約分，在第一步的基礎上，能約分的全部約分；第三步合并，在約分后，進行同類項的合并；第四步是通分，通分后進行整理；第五步是代值進行計算.

3 整式與分式融合的化簡求值

這種情況不用過多考慮，遇整式就按照整式的方法處理，遇到分式則按照分式的方法解答即可.

例3 先化簡，再求值：3+2－3+8+x－1+1x+1÷x2+2xx+1，其中x=2－2.

解析 原式=3+2－3－22+x－1x+1+1x+1×x+1xx+2

=－2+x2x+1×x+1xx+2

=－2+xx+2x≠－2，－1，0.

因為x=2－2，

所以－2+xx+2=－2+2－22=－2+1－2=1－22.

評注 題目類型與前面差不多，但是形式上既有整式部分運算，又有分式部分的化簡求值，但是從整體上說整式和分式部分基本是分開的，分別進行運算即可.

4 結語

本文主要針對整式和分式的計算和化簡展開探究，根據實際情況，分成整式的化簡求值、分式的化簡求值和整式與分式融合的化簡求值三個部分進行詳細討論.通過以上探究，處理這類題型基本思路均是“合一”，即多項式進行合并，最終求值.在處理過程中，除了基本的加減乘除運算，還會涉及乘方和開方，以及平方差公式、完全平方公式、通分與分解因式和提公因式.最后提醒一點，在遇到除法運算時，要記得“除以這個數等于乘以這個數的倒數”.

參考文獻：

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