用完全彈性碰撞的二級結論解題

【摘要】完全彈性碰撞是高中物理中的重要內容，其二級結論是解決碰撞問題的重要工具.然而，在實際教學中，發現學生在運用完全彈性碰撞的二級結論時存在一定的困難.為了提高學生運用公式的能力，本文結合具體實例，探討如何巧妙運用完全彈性碰撞的二級結論解題.

【關鍵詞】高中物理；完全彈性碰撞；解題技巧

1 引言

完全彈性碰撞是指兩個物體在碰撞過程中，系統的動能和動量都守恒的碰撞.本文以高中物理教學為背景，探討了如何巧妙運用完全彈性碰撞的二級結論解決實際問題.

2 兩種彈性碰撞模型概述

2.1 動碰靜模型

如圖1所示，在光滑水平面上存在兩個質量分別為m1，m2的物塊A和B，其中物塊A的初速度為v0，物塊B靜止；碰撞過后物塊A，B的速度分別為v1，v2.

在彈性碰撞中，兩物塊的總動量守恒，總動能守恒.故可得：

m1v0=m1v1+m2v2①，

12m1v20=12m1v21+12m2v22②，

由①式得m1v0－v1=m2v2③，

由②式得m1v0－v1v0+v1=m2v22④，

由③④得v0+v1=v2，整理得v0－0=v2－v1，稱之為速度差公式.

利用速度差公式，動量守恒定律可表示為m1v0=m1v1+m2v0+v1，

m1v0=m2v2+m1v2－v0，

容易求得v1=m1－m2m1+m2v0，

v2=2m1m1+m2v0.

2.2 動碰動模型

如圖2所示，在光滑水平面上，初速度為v1、質量為m1的物塊A和初速度為v2v1>v2、質量為m2的物塊B發生彈性碰撞，兩者碰撞后速度變為v1′，v2′.

由動量守恒和動能守恒可得：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′①，

12m1v21+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2②，

同理可得v1+v1′=v2+v2′，此式可化為v1－v2=v2′－v1′（速度差公式）.

利用速度差公式，動量守恒定律可以表示為：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v1－v2+v1′③，

m1v1+m2v2=m1v2－v1+v2′+m2v2′④，

③式兩邊同時加上m1v1+m2v2后化簡得：

v1′=2m1v1+m2v2m1+m2－v1⑤，

④式兩邊同時加上m1v1+m2v2后化簡得：

v′2=2m1v1+m2v2m1+m2－v2⑥.

3 試題呈現

例1 如圖3所示，當某中子以初速度v0撞擊靜止的氫核和氮核時，兩核的速度分別變為v1和v2.假設碰撞是彈性碰撞，不考慮相對論效應.則碰撞后（ ）

（A）氮核的動量更小.

（B）氮核的動能更小.

（C）v2＞v1.

（D）v2＞v0.

解析 設中子質量為m0，被碰粒子質量為m，碰后中子速度為v0′，被碰粒子速度為v，二者發生彈性正碰，由動量守恒定律和能量守恒定律有m0v0=m0v0′+mv，12m0v20=12m0v0′2+12mv2，解得v0′=m0－mm0+mv0，v=2m0m0+mv0，因此當被碰粒子分別為氫核m0和氮核14m0時，有v1=v0，v2=215v0，故（C）（D）錯誤；碰撞后氮核的動量為p氮=14m0·v2=2815m0v0，氫核的動量為p氫=m0·v1=m0v0，p氮>p氫，故（A）錯誤；碰撞后氮核動能為E氮=12·14m0v22=28225m0v20，氫核的動能為E氫=12·m0v21=12m0v20，E氮＜E氫，故（B）正確.

例2 圖4描繪了一個固定在豎直平面內的光滑圓形軌道，其半徑為R.有兩個小球A、B，它們的質量分別為m、βm（β未定）.A球從軌道上與圓心等高的一點開始，無初速度地沿軌道下滑，并在軌道的最低點與靜止的B球發生碰撞.碰撞后，兩球被彈起，各自達到的最大高度均為軌道半徑的14.在這個過程中，假設碰撞是彈性碰撞，且重力加速度為g.試求：第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力.

解析 碰撞前后由系統機械能守恒分析可得mgR=14mgR+14βmgR，解得β=3，由于碰撞后A、B球能到達的最大高度均為14R，且碰接中無機械能損失，所以第一次碰撞剛結束時，小球A一定反向運動，以水平向右為正方向，設第一次碰撞剛結束時小球A、B的速度大小分別為v1，v2.

第一次碰撞后，小球A、B上升過程中機械能守恒，則有12mv21=14mgR，12×3mv22=14×3mgR；二者上升高度相同，說明碰撞后的速度大小相等.質量較小的A球撞擊B球，A球反彈，二者速度方向相反，故v2=－v1=gR2，在軌道的最低點對B球進行受力分析，有N－3mg=3mv22R，解得N=4.5mg，由牛頓第三定律知，B球對軌道的壓力為4.5mg，方向豎直向下.

4 結語

完全彈性碰撞的二級結論是解決碰撞問題的重要工具，在教學過程中，教師應注重理論知識的學習，培養學生分析問題的能力，并及時給予反饋與指導，以提高學生運用公式的能力.

參考文獻：

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