力學(xué)臨界極值問題的三種常見解法

【摘要】高中物理問題的解答要求學(xué)生擅長通過分析“題眼”找到問題突破口，繼而高效率地解題.其中“最大”“最小”“恰好”都是常見的題眼，也對應(yīng)一類臨界問題.解答臨界極值問題具有一定方法，常見的有極限法、圖解法、解析法.掌握常見解決方法，有助于學(xué)生理清題意，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】臨界問題；高中物理；解題方法

高中物理中的臨界極值問題是高考的高頻考點.以力學(xué)的臨界問題為范例，本文主要從解題方法層面分析不同思路的特點和適用范圍，旨在幫助學(xué)生更快速地分析求解問題.

1 極限法

極限法求解臨界問題，主要思路在于把問題條件推向極端條件，需要注意的是分析受力或運(yùn)動是個動態(tài)過程，必要時應(yīng)把其中的物理量放大或縮小找到其中的臨界狀態(tài)，才能解決問題.

例1 課堂上，老師準(zhǔn)備了“L”形光滑木板和三個完全相同、外表面光滑的勻質(zhì)圓柱形積木，要將三個積木按圖1所示（截面圖）方式堆放在木板上，則木板與水平面夾角θ的最大值為（ ）

（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）90°.

分析 解答該題需要對木板與地面形成的角度θ這一物理量進(jìn)行放大或縮小，由于問題求解積木堆積時角度的最大值，故放大得到動態(tài)情況，可知最上面的圓形積木與左下積木重疊時最上面積木會落在地面，即將積木滑動落下對應(yīng)θ的最大值，求解出來即可.

解 當(dāng)最上面積木的重心與左下方積木的重心在同一豎直線上時，最上面積木即將滾動，此時木板與水平面夾角θ達(dá)到最大，根據(jù)幾何關(guān)系可得，θ的最大值為30°.

故正確答案為選項（A）.

2 圖解法

圖解法適用于大部分力學(xué)問題，解題關(guān)鍵在于得到受力分析圖，用幾何圖形運(yùn)動情境，再求對應(yīng)的臨界值大小.在求解過程中，需要正確畫出物體的受力分析圖，并找出所求臨界值物理量在圖象中對應(yīng)的線段或面積，其次根據(jù)幾何圖形性質(zhì)求解.

例2 如圖2所示，三根長度均為L的輕繩分別連接于C、D兩點，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2L.現(xiàn)在C點上懸掛一個質(zhì)量為m的重物，重力加速度大小為g，為使CD繩保持水平，在D點上可施加力F的最小值為（ ）

（A）mg. （B）33mg. （C）12mg. （D）14mg.

分析 首先需要對節(jié)點C、節(jié)點D做受力分析，節(jié)點D分別受到繩CD的水平拉力、繩BD的拉力、施加的外力F，得到受力分析圖后，通過正交分解使所有力形成矢量三角形，根據(jù)垂線段最短得到最小值.

解 由題意可知，CD繩保持水平必須使各繩繃緊，

則AC與水平方向的夾角為60°，節(jié)點C受力平衡，如圖3所示，

FT=mgtan30°=33mg，

可知節(jié)點D受CD繩的拉力大小等于FT，方向水平向左，要使CD繩保持水平，節(jié)點D兩繩拉力與外力合力為零，則CD繩對節(jié)點D的拉力可分解為沿BD繩的F1和另一分力F2，根據(jù)幾何關(guān)系，可知F2與BD垂直時，F(xiàn)2最小，F(xiàn)2的大小即為外力F的大小，

最小力為Fmin=FTsin60°=12mg.

故正確答案為選項（C）.

3 解析法

解析法具體指所求物理量等價轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式，運(yùn)用表達(dá)式求最值.運(yùn)用該方法能解答大部分問題，結(jié)合公式列出與所求物理量有關(guān)的等式，最后運(yùn)算解答即可.

例3 如圖4所示，質(zhì)量為M的斜面傾角為θ，在水平面上保持靜止，當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在斜面上，正好勻速下滑.如果用與斜面角度為α的力F拉木塊，木塊能勻速上升，已知斜面在整個過程中始終靜止，當(dāng)α多大時，F(xiàn)有最小值，求此時α的大小及F的最小值？

分析 本題是兩個未知物理量牽連變化的問題，需要將角度α看作自變量，施加的外力F為因變量，構(gòu)造函數(shù)解析式，分析函數(shù)對應(yīng)的最小值.

解 木塊在斜面上勻速向下運(yùn)動時，

則有mgsinθ=μmgcosθ，解得μ=tanθ，

木塊在F作用下沿斜面向上勻速運(yùn)動，

則有Fcosα=mgsinθ+Ff，

Fsinα+FN=mgcosθ，F(xiàn)f=μFN，

解得F=2mgsinθcosα+μsinα=2mgsinθcosθcosαcosθ+sinαsinθ=mgsin2θcosθ－α，

當(dāng)α=θ時，F(xiàn)有最小值，F(xiàn)min=mgsin2θ.

4 結(jié)語

上述例題分別對高中物理力學(xué)臨界極值問題的三種求解思路做出具體分析和解讀，不難發(fā)現(xiàn)這些方法都有對應(yīng)的適用范圍和特點.解析法著重運(yùn)用公式得到臨界值，圖解法則需要結(jié)合幾何圖形對其進(jìn)行分解找到臨界狀態(tài)，極限法則通過放大或縮小物理量的思路找到動態(tài)過程中狀態(tài)變化的臨界點.這些方法各有特長，都是學(xué)生必須學(xué)習(xí)和掌握的解題方法.

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